$$ 6 \quad $$ b) $$ y=\sqrt{\left(x^{3}+2 x\right)} $$ $$ \frac{d u^{n}}{d x}=n=\left(x^{3}+2 x\right)^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x}= $$ $$ \frac{d u}{d x} $$

Question

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Para encontrar la derivada de la función $$ y = \sqrt{x^{3} + 2x} $$, seguiremos los pasos utilizando la **regla de la cadena**.

1. **Reescribimos la función en términos de exponentes:**
   $$
   y = (x^{3} + 2x)^{\frac{1}{2}}
   $$

2. **Aplicamos la regla de la cadena para derivar:**
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (x^{3} + 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot \frac{d}{dx}(x^{3} + 2x)
   $$

3. **Derivamos el interior de la función:**
   $$
   \frac{d}{dx}(x^{3} + 2x) = 3x^{2} + 2
   $$

4. **Sustituimos la derivada del interior en la expresión inicial:**
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} (x^{3} + 2x)^{-\frac{1}{2}} \cdot (3x^{2} + 2)
   $$

5. **Simplificamos la expresión:**
   $$
   \frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2} + 2}{2 \sqrt{x^{3} + 2x}}
   $$

**Resultado Final:**
$$
\boxed{ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2} + 2}{2\,\sqrt{x^{3} + 2x}} }
$$
La derivada de $$ y = \sqrt{x^{3} + 2x} $$ es $$ \frac{dy}{dx} = \frac{3x^{2} + 2}{2\,\sqrt{x^{3} + 2x}} $$.

\( 6 \quad \) b) \( y=\sqrt{\left(x^{3}+2 x\right)} \) \( \frac{d u^{n}}{d x}=n=\left(x^{3}+2 x\right)^{\frac{1}{2}} \frac{d y}{d x}= \) \( \frac{d u}{d x} \)

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