Trace la grafica de la jig funcion detciminando sus intervalos on los cuales es creciente y decreciente \( f(x)=2 x^{2}-5 x-3 \)

Para analizar la función cuadrática \( f(x) = 2x^{2} - 5x - 3 \), realizaremos los siguientes pasos: 1. **Graficar la función** 2. **Determinar los intervalos donde la función es creciente y decreciente** ### 1. Graficando la Función \( f(x) = 2x^{2} - 5x - 3 \) **a. Identificar los coeficientes:** - \( a = 2 \) (coeficiente de \( x^{2} \)) - \( b = -5 \) (coeficiente de \( x \)) - \( c = -3 \) (término constante) **b. Determinar el vértice de la parábola:** La fórmula para la coordenada \( x \) del vértice es: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} \] Para encontrar \( y_v \): \[ y_v = 2\left(\frac{5}{4}\right)^{2} - 5\left(\frac{5}{4}\right) - 3 \] \[ y_v = 2\left(\frac{25}{16}\right) - \frac{25}{4} - 3 \] \[ y_v = \frac{50}{16} - \frac{100}{16} - \frac{48}{16} \] \[ y_v = \frac{50 - 100 - 48}{16} = \frac{-98}{16} = -\frac{49}{8} \] Por lo tanto, el vértice es \( \left(\frac{5}{4}, -\frac{49}{8}\right) \). **c. Encontrar las intersecciones con los ejes:** - **Intersección con el eje Y (\( x = 0 \)):** \[ f(0) = 2(0)^{2} - 5(0) - 3 = -3 \] Punto: \( (0, -3) \) - **Intersecciones con el eje X (resolver \( f(x) = 0 \)):** \[ 2x^{2} - 5x - 3 = 0 \] Usamos la fórmula cuadrática: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} \] \[ x = \frac{5 \pm 7}{4} \] Entonces: \[ x_1 = \frac{12}{4} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} \] Puntos: \( (3, 0) \) y \( \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \) **d. Graficar la parábola:** Con los puntos obtenidos, podemos esbozar la parábola que abre hacia arriba (ya que \( a = 2 > 0 \)).  ### 2. Determinando los Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento Para una función cuadrática \( f(x) = ax^{2} + bx + c \): - Si \( a > 0 \), la función es **decreciente** en \( (-\infty, x_v) \) y **creciente** en \( (x_v, \infty) \). - Si \( a < 0 \), la función es **creciente** en \( (-\infty, x_v) \) y **decreciente** en \( (x_v, \infty) \). En nuestro caso, \( a = 2 > 0 \), y el vértice está en \( x_v = \frac{5}{4} \). Por lo tanto: - **Decreciente en:** \( (-\infty, \frac{5}{4}) \) - **Creciente en:** \( (\frac{5}{4}, \infty) \) ### Resumen - **Vértice:** \( \left(\frac{5}{4}, -\frac{49}{8}\right) \) - **Intersecciones con el eje Y:** \( (0, -3) \) - **Intersecciones con el eje X:** \( (3, 0) \) y \( \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \) - **Intervalos:** - **Decreciente:** \( (-\infty, \frac{5}{4}) \) - **Creciente:** \( (\frac{5}{4}, \infty) \)