Trace la grafica de la jig funcion
detciminando sus intervalos on los cuales es
creciente y decreciente

Ask by Todd Ayala. in Mexico

Jan 23,2025

Question

Trace la grafica de la jig funcion detciminando sus intervalos on los cuales es creciente y decreciente $$ f(x)=2 x^{2}-5 x-3 $$

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Para analizar la función cuadrática $$ f(x) = 2x^{2} - 5x - 3 $$, realizaremos los siguientes pasos:

1. **Graficar la función**
2. **Determinar los intervalos donde la función es creciente y decreciente**

### 1. Graficando la Función $$ f(x) = 2x^{2} - 5x - 3 $$

**a. Identificar los coeficientes:**
- $$ a = 2 $$ (coeficiente de $$ x^{2} $$)
- $$ b = -5 $$ (coeficiente de $$ x $$)
- $$ c = -3 $$ (término constante)

**b. Determinar el vértice de la parábola:**
La fórmula para la coordenada $$ x $$ del vértice es:
$$ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-5}{2 \cdot 2} = \frac{5}{4} $$

Para encontrar $$ y_v $$:
$$ y_v = 2\left(\frac{5}{4}\right)^{2} - 5\left(\frac{5}{4}\right) - 3 $$
$$ y_v = 2\left(\frac{25}{16}\right) - \frac{25}{4} - 3 $$
$$ y_v = \frac{50}{16} - \frac{100}{16} - \frac{48}{16} $$
$$ y_v = \frac{50 - 100 - 48}{16} = \frac{-98}{16} = -\frac{49}{8} $$

Por lo tanto, el vértice es $$ \left(\frac{5}{4}, -\frac{49}{8}\right) $$.

**c. Encontrar las intersecciones con los ejes:**

- **Intersección con el eje Y ($$ x = 0 $$):**
  $$ f(0) = 2(0)^{2} - 5(0) - 3 = -3 $$
  Punto: $$ (0, -3) $$

- **Intersecciones con el eje X (resolver $$ f(x) = 0 $$):**
  $$ 2x^{2} - 5x - 3 = 0 $$
  
  Usamos la fórmula cuadrática:
  $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} $$
  $$ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{4} $$
  $$ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{4} $$
  $$ x = \frac{5 \pm 7}{4} $$
  
  Entonces:
  $$ x_1 = \frac{12}{4} = 3 $$
  $$ x_2 = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2} $$
  
  Puntos: $$ (3, 0) $$ y $$ \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $$

**d. Graficar la parábola:**

Con los puntos obtenidos, podemos esbozar la parábola que abre hacia arriba (ya que $$ a = 2 > 0 $$).

![Gráfica de la función f(x) = 2x² - 5x - 3](https://i.imgur.com/6Hm3FhL.png)

### 2. Determinando los Intervalos de Crecimiento y Decrecimiento

Para una función cuadrática $$ f(x) = ax^{2} + bx + c $$:

- Si $$ a > 0 $$, la función es **decreciente** en $$ (-\infty, x_v) $$ y **creciente** en $$ (x_v, \infty) $$.
- Si $$ a < 0 $$, la función es **creciente** en $$ (-\infty, x_v) $$ y **decreciente** en $$ (x_v, \infty) $$.

En nuestro caso, $$ a = 2 > 0 $$, y el vértice está en $$ x_v = \frac{5}{4} $$.

Por lo tanto:

- **Decreciente en:** $$ (-\infty, \frac{5}{4}) $$
- **Creciente en:** $$ (\frac{5}{4}, \infty) $$

### Resumen

- **Vértice:** $$ \left(\frac{5}{4}, -\frac{49}{8}\right) $$
- **Intersecciones con el eje Y:** $$ (0, -3) $$
- **Intersecciones con el eje X:** $$ (3, 0) $$ y $$ \left(-\frac{1}{2}, 0\right) $$
- **Intervalos:**
  - **Decreciente:** $$ (-\infty, \frac{5}{4}) $$
  - **Creciente:** $$ (\frac{5}{4}, \infty) $$
La función $$ f(x) = 2x^{2} - 5x - 3 $$ es una parábola que abre hacia arriba. Su vértice está en $$ \left(\frac{5}{4}, -\frac{49}{8}\right) $$. La función es **decreciente** en $$ (-\infty, \frac{5}{4}) $$ y **creciente** en $$ (\frac{5}{4}, \infty) $$.

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detciminando sus intervalos on los cuales es
creciente y decreciente

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