Hausaufgabe 52: (Kugeltank) Berechnen Sie die Füllmenge \( V(h) \) eines kugelförmigen Tanks mit Radius \( R \) in Abhängigkeit von der Füllhöhe \( h \) für \( 0 \leq h \leq R \). Hinweis: Verwenden Sie Zylinderkoordinaten und legen die \( z \)-Achse vertikal nach oben durch den Kugelmittelpunkt sowie den Auflagepunkt der Kugel in den Koordinatenursprung \( (z=0) \).

Um die Füllmenge \( V(h) \) eines kugelförmigen Tanks mit Radius \( R \) in Abhängigkeit von der Füllhöhe \( h \) zu berechnen, verwenden wir Zylinderkoordinaten \((r, \theta, z)\). Die \( z \)-Achse verläuft vertikal nach oben durch den Kugelmittelpunkt, und der Ursprung \( (z = 0) \) befindet sich auf dem Auflagepunkt der Kugel. **1. Kugelgleichung in Zylinderkoordinaten:** Die Gleichung einer Kugel mit Radius \( R \) und Mittelpunkt im Ursprung lautet: \[ r^2 + z^2 = R^2 \] **2. Integration der Füllmenge:** Die Füllmenge \( V(h) \) ist das Volumen des kugelförmigen Abschnitts von der Basis bis zur Höhe \( h \). In Zylinderkoordinaten wird das Volumenelement \( \mathrm{d}V \) durch \( r \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}z \) gegeben. Wir integrieren über die Bereiche: - \( z \) von \( 0 \) bis \( h \) - \( r \) von \( 0 \) bis \( \sqrt{R^2 - z^2} \) - \( \theta \) von \( 0 \) bis \( 2\pi \) \[ V(h) = \int_{0}^{h} \int_{0}^{\sqrt{R^2 - z^2}} \int_{0}^{2\pi} r \, \mathrm{d}\theta \, \mathrm{d}r \, \mathrm{d}z \] **3. Ausführung der Integration:** Zuerst integrieren wir über \( \theta \): \[ \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta = 2\pi \] Dann über \( r \): \[ \int_{0}^{\sqrt{R^2 - z^2}} r \, \mathrm{d}r = \frac{1}{2} \left( R^2 - z^2 \right) \] Schließlich über \( z \): \[ V(h) = 2\pi \cdot \frac{1}{2} \int_{0}^{h} \left( R^2 - z^2 \right) \mathrm{d}z = \pi \int_{0}^{h} \left( R^2 - z^2 \right) \mathrm{d}z \] Integrieren wir nun den letzten Ausdruck: \[ \pi \left[ R^2 z - \frac{z^3}{3} \right]_{0}^{h} = \pi \left( R^2 h - \frac{h^3}{3} \right) \] **4. Endgültige Formel:** Die Füllmenge \( V(h) \) des kugelförmigen Tanks lautet somit: \[ V(h) = \frac{\pi h^2 (3R - h)}{3} \] **Zusammenfassung:** \[ V(h) = \frac{\pi h^2 (3R - h)}{3} \quad \text{für} \quad 0 \leq h \leq R \]