2.3 'n Kwadratiese patroon het ' $$ n $$ konstante tweede verskil van 2 en $$ T_{5}=T_{17}=29 $$. 2.3.1 Het hierdie getalpatroon ' $$ n $$ minimum of ' $$ n $$ maksimum waarde? $$ \quad $$ Regverdig die antwoord. 2.3.2 Bepaal die uitdrukking vir die $$ n $$ de term in die vorm van $$ T_{n}=a n^{2}+b n+c $$. (5) $$ 2.4 \quad $$ ' $$ n $$ Sekere kwadratiese patroon het die volgende eienskappe: $$ T_{1}=p $$ $$ T_{2}=18 $$ $$ T_{4}=4 T_{1} $$ $$ T_{3}-T_{2}=10 $$ Bepaal die waarde van p .

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**2.3.1. Minimum of Maksimum Waarde?**

Die gegewe kwadratiese patroon het 'n konstante tweede verskil van 2, wat impliseer dat die algemene vorm van die patroon is:

$$ T_n = a n^2 + b n + c $$

Die konstante tweede verskil ($$2a$$) is 2, dus:

$$ 2a = 2 \implies a = 1 $$

Aangesien $$a > 0$$, beteken dit dat die parabool oopwaarts is en daarmee 'n **minimum waarde** het.

**Regverdiging:**
- Positiewe koëffisiënt van $$n^2$$ dui op 'n oopwaartse parabool.
- Openstaande parabool bereik 'n minimum punt, wat die laagste waarde in die patroon is.

---

**2.3.2. Bepaling van die Uitdrukking $$ T_n = a n^2 + b n + c $$**

Gestel die algemene vorm is:

$$ T_n = a n^2 + b n + c $$

Van die konstante tweede verskil weet ons dat $$a = 1$$.

Gebruik die gegewe waardes:
1. $$ T_5 = 29 $$
2. $$ T_{17} = 29 $$

**Stap-vir-stap Berekening:**

1. **Vir $$ T_5 = 29 $$:**
   $$ 25a + 5b + c = 29 $$
   $$ 25(1) + 5b + c = 29 $$
   $$ 5b + c = 4 \quad \text{(Ekwasie 1)} $$

2. **Vir $$ T_{17} = 29 $$:**
   $$ 289a + 17b + c = 29 $$
   $$ 289(1) + 17b + c = 29 $$
   $$ 17b + c = -260 \quad \text{(Ekwasie 2)} $$

3. **Subtraheer Ekwasie 1 van Ekwasie 2:**
   $$ (17b + c) - (5b + c) = -260 - 4 $$
   $$ 12b = -264 $$
   $$ b = -22 $$

4. **Vind $$ c $$ deur $$ b $$ terug in Ekwasie 1 te plaas:**
   $$ 5(-22) + c = 4 $$
   $$ -110 + c = 4 $$
   $$ c = 114 $$

**Die Uitdrukking is dus:**

$$ T_n = n^2 - 22n + 114 $$

---

**2.4. Bepaling van die Waarde van $$ p $$**

Gegewe eienskappe:
- $$ T_1 = p $$
- $$ T_2 = 18 $$
- $$ T_4 = 4p $$
- $$ T_3 - T_2 = 10 $$

Neem die algemene vorm:

$$ T_n = a n^2 + b n + c $$

**Stel Op die Vergelykings:**

1. $$ T_1 = a + b + c = p $$
2. $$ T_2 = 4a + 2b + c = 18 $$
3. $$ T_4 = 16a + 4b + c = 4p $$
4. $$ T_3 - T_2 = (9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 5a + b = 10 \quad \text{(Ekwasie 4)} $$

**Oplossing:**

1. Uit Ekwasie 4:
   $$ b = 10 - 5a $$

2. Plaas $$ b $$ in Ekwasie 1:
   $$ a + (10 - 5a) + c = p $$
   $$ -4a + 10 + c = p $$
   $$ c = p + 4a - 10 $$

3. Plaas $$ b $$ en $$ c $$ in Ekwasie 2:
   $$ 4a + 2(10 - 5a) + (p + 4a - 10) = 18 $$
   $$ 4a + 20 - 10a + p + 4a - 10 = 18 $$
   $$ -2a + p + 10 = 18 $$
   $$ p = 2a + 8 \quad \text{(Ekwasie 5)} $$

4. Plaas $$ b $$ en $$ c $$ in Ekwasie 3:
   $$ 16a + 4(10 - 5a) + (p + 4a - 10) = 4p $$
   $$ 16a + 40 - 20a + p + 4a - 10 = 4p $$
   $$ 30 + p = 4p $$
   $$ 3p = 30 $$
   $$ p = 10 $$

**Finale Waarde:**

$$ p = 10 $$

**Kontrole:**

- $$ a = 1 $$ (aangevuur deur tweede verskil)
- $$ b = 10 - 5(1) = 5 $$
- $$ c = 10 + 4(1) - 10 = 4 $$

**Bevestig Egenskappe:**

- $$ T_1 = 1 + 5 + 4 = 10 = p $$
- $$ T_2 = 4 + 10 + 4 = 18 $$
- $$ T_3 = 9 + 15 + 4 = 28 $$
- $$ T_4 = 16 + 20 + 4 = 40 = 4p $$
- $$ T_3 - T_2 = 28 - 18 = 10 $$

Alles stem ooreen, dus die oplossing is korrek.

---

**Antwoord Opsomming:**

- **2.3.1.** Die patroon het 'n minimum waarde omdat die koëffisiënt van $$ n^2 $$ positief is.
- **2.3.2.** $$ T_n = n^2 - 22n + 114 $$
- **2.4.** $$ p = 10 $$
**2.3.1.** Die patroon het 'n minimum waarde omdat die tweede koëffisiënt positief is. **2.3.2.** Die uitdrukking vir die $$ n $$-de term is $$ T_n = n^2 - 22n + 114 $$. **2.4.** Die waarde van $$ p $$ is 10.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions