$$ 5 . \lim _ { x \rightarrow 2 } \frac { x ^ { 4 } + x ^ { 3 } - 24 } { x ^ { 2 } - 6 } = \frac { 12 } { } $$

Question

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Vamos a resolver la siguiente ecuación:

$$
5 \cdot \lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{4} + x^{3} - 24}{x^{2} - 6} = \frac{12}{\_}
$$

**Paso 1: Calcular el Límite**

Primero, evaluamos el límite:

$$
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{4} + x^{3} - 24}{x^{2} - 6}
$$

Sustituyendo $$ x = 2 $$:

- **Numerador:**
  $$
  2^{4} + 2^{3} - 24 = 16 + 8 - 24 = 0
  $$
- **Denominador:**
  $$
  2^{2} - 6 = 4 - 6 = -2
  $$

Por lo tanto, el límite es:

$$
\lim_{x \rightarrow 2} \frac{x^{4} + x^{3} - 24}{x^{2} - 6} = \frac{0}{-2} = 0
$$

**Paso 2: Sustituir el Límite en la Ecuación Original**

Sustituyendo el valor del límite en la ecuación original:

$$
5 \cdot 0 = \frac{12}{\_}
$$

Esto simplifica a:

$$
0 = \frac{12}{\_}
$$

**Paso 3: Resolver para el Valor Desconocido**

La ecuación $$ 0 = \frac{12}{\_} $$ implica que el denominador debe tender a infinito para que la fracción sea igual a cero:

$$
\frac{12}{\text{Denominador}} = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{Denominador} \rightarrow \infty
$$

**Conclusión**

No existe un valor finito para el denominador que satisfaga la ecuación dada. La única posibilidad es que el denominador tienda a infinito.
La respuesta es que no existe un valor finito para el denominador que satisfaga la ecuación, ya que el límite es cero y la ecuación $$0 = \frac{12}{\_}$$ solo se cumple si el denominador tiende a infinito.

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