Fie $$ S=\left\{(a, a+2 b, b) \in \mathbf{R}^{3} \mid a, b \in \mathbf{R}\right\} $$ şi $$ W=\left\{v=(x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid 3 x-4 y+2 z=0\right\} $$. Să se verifice că $$ S $$ este subspaţiu vectorial al lui $$ \mathbf{R}^{3} $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru a verifica că $$ S $$ este un subspațiu vectorial al lui $$ \mathbf{R}^{3} $$, trebuie să demonstrăm că $$ S $$ îndeplinește următoarele trei condiții:

1. **Vectorul zero aparține lui $$ S $$:**
   
   Vectorul zero din $$ \mathbf{R}^{3} $$ este $$ (0, 0, 0) $$. Să vedem dacă există valori pentru $$ a $$ și $$ b $$ astfel încât:
   $$
   (a, a + 2b, b) = (0, 0, 0)
   $$
   Comparând componentele, obținem sistemul:
   $$
   \begin{cases}
   a = 0 \
   a + 2b = 0 \
   b = 0
   \end{cases}
   $$
   Din $$ a = 0 $$ și $$ b = 0 $$, se verifică că $$ a + 2b = 0 $$. Astfel, vectorul zero aparține lui $$ S $$.

2. **Închidere față de adunare:**
   
   Să luăm doi vectori arbitrar din $$ S $$:
   $$
   v_1 = (a_1, a_1 + 2b_1, b_1) \quad \text{și} \quad v_2 = (a_2, a_2 + 2b_2, b_2)
   $$
   Adunându-i:
   $$
   v_1 + v_2 = (a_1 + a_2, (a_1 + 2b_1) + (a_2 + 2b_2), b_1 + b_2) = (a_1 + a_2, (a_1 + a_2) + 2(b_1 + b_2), b_1 + b_2)
   $$
   Setați $$ a = a_1 + a_2 $$ și $$ b = b_1 + b_2 $$. Atunci:
   $$
   v_1 + v_2 = (a, a + 2b, b)
   $$
   Astfel, $$ v_1 + v_2 $$ este de forma generală a unui element din $$ S $$, deci $$ S $$ este închis față de adunare.

3. **Închidere față de înmulțirea scalară:**
   
   Să luăm un vector arbitrar din $$ S $$:
   $$
   v = (a, a + 2b, b)
   $$
   Și un scalar $$ \lambda \in \mathbf{R} $$. Înmulțind vectorul cu $$ \lambda $$:
   $$
   \lambda v = (\lambda a, \lambda (a + 2b), \lambda b) = (\lambda a, \lambda a + 2 (\lambda b), \lambda b)
   $$
   Setați $$ a' = \lambda a $$ și $$ b' = \lambda b $$. Astfel:
   $$
   \lambda v = (a', a' + 2b', b')
   $$
   Deci, $$ \lambda v $$ este de forma generală a unui element din $$ S $$, ceea ce arată că $$ S $$ este închis față de înmulțirea scalară.

**Concluzie:** $$ S $$ îndeplinește toate cele trei condiții necesare pentru a fi un subspațiu vectorial al lui $$ \mathbf{R}^{3} $$.
$$ S $$ este un subspațiu vectorial al lui $$ \mathbf{R}^{3} $$ deoarece conține vectorul zero, este închis față de adunare și înmulțirea scalară.

Fie şi .
Să se verifice că este subspaţiu vectorial al lui .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Other Questions

Fie şi . Să se verifice că este subspaţiu vectorial al lui .