Fie \( S=\left\{(a, a+2 b, b) \in \mathbf{R}^{3} \mid a, b \in \mathbf{R}\right\} \) şi \( W=\left\{v=(x, y, z) \in \mathbf{R}^{3} \mid 3 x-4 y+2 z=0\right\} \). Să se verifice că \( S \) este subspaţiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \).

Pentru a verifica că \( S \) este un subspațiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \), trebuie să demonstrăm că \( S \) îndeplinește următoarele trei condiții: 1. **Vectorul zero aparține lui \( S \):** Vectorul zero din \( \mathbf{R}^{3} \) este \( (0, 0, 0) \). Să vedem dacă există valori pentru \( a \) și \( b \) astfel încât: \[ (a, a + 2b, b) = (0, 0, 0) \] Comparând componentele, obținem sistemul: \[ \begin{cases} a = 0 \\ a + 2b = 0 \\ b = 0 \end{cases} \] Din \( a = 0 \) și \( b = 0 \), se verifică că \( a + 2b = 0 \). Astfel, vectorul zero aparține lui \( S \). 2. **Închidere față de adunare:** Să luăm doi vectori arbitrar din \( S \): \[ v_1 = (a_1, a_1 + 2b_1, b_1) \quad \text{și} \quad v_2 = (a_2, a_2 + 2b_2, b_2) \] Adunându-i: \[ v_1 + v_2 = (a_1 + a_2, (a_1 + 2b_1) + (a_2 + 2b_2), b_1 + b_2) = (a_1 + a_2, (a_1 + a_2) + 2(b_1 + b_2), b_1 + b_2) \] Setați \( a = a_1 + a_2 \) și \( b = b_1 + b_2 \). Atunci: \[ v_1 + v_2 = (a, a + 2b, b) \] Astfel, \( v_1 + v_2 \) este de forma generală a unui element din \( S \), deci \( S \) este închis față de adunare. 3. **Închidere față de înmulțirea scalară:** Să luăm un vector arbitrar din \( S \): \[ v = (a, a + 2b, b) \] Și un scalar \( \lambda \in \mathbf{R} \). Înmulțind vectorul cu \( \lambda \): \[ \lambda v = (\lambda a, \lambda (a + 2b), \lambda b) = (\lambda a, \lambda a + 2 (\lambda b), \lambda b) \] Setați \( a' = \lambda a \) și \( b' = \lambda b \). Astfel: \[ \lambda v = (a', a' + 2b', b') \] Deci, \( \lambda v \) este de forma generală a unui element din \( S \), ceea ce arată că \( S \) este închis față de înmulțirea scalară. **Concluzie:** \( S \) îndeplinește toate cele trei condiții necesare pentru a fi un subspațiu vectorial al lui \( \mathbf{R}^{3} \).