Una compañía de electricidad cobra a sus clientes una tasa base de 10 dólares al mes, más 6 centavos de dólar por kilowatt-hora $$ (\mathrm{kWh}) $$ por los primeros 1200 kWh y 7 centavos de dólar por kWh para todo uso arriba de 1200 kWh . Exprese el costo mensual $$ E $$ como una función de la cantidad $$ x $$ de electricidad utilizada. Luego trace la gráfica de la función $$ E $$ para $$ 0 \leqslant x \leqslant 2000 $$.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Para expresar el costo mensual $$ E $$ en función de la cantidad $$ x $$ de electricidad utilizada, podemos definir una función por tramos basada en las tarifas proporcionadas:

$$
E(x) = 
\begin{cases} 
10 + 0.06x & \text{si } 0 \leq x \leq 1200 \
10 + (0.06 \times 1200) + 0.07(x - 1200) & \text{si } x > 1200 
\end{cases}
$$

Simplificando la segunda parte:

$$
E(x) = 
\begin{cases} 
10 + 0.06x & \text{si } 0 \leq x \leq 1200 \
82 + 0.07(x - 1200) & \text{si } x > 1200 
\end{cases}
$$

Donde:
- **10 dólares** es la tasa base mensual.
- **0.06 dólares/kWh** es el costo por los primeros 1200 kWh.
- **0.07 dólares/kWh** es el costo por cada kWh adicional después de los 1200 kWh.

### Gráfica de la función $$ E(x) $$ para $$ 0 \leq x \leq 2000 $$

A continuación, se presenta un ejemplo de cómo trazar la gráfica de la función $$ E(x) $$ utilizando Python y la biblioteca Matplotlib:

```python
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Definir la función E(x)
def E(x):
    base = 10
    if x <= 1200:
        return base + 0.06 * x
    else:
        return base + 0.06 * 1200 + 0.07 * (x - 1200)

# Generar valores de x desde 0 hasta 2000
x_values = np.linspace(0, 2000, 400)
# Calcular E(x) para cada valor de x
E_values = [E(x) for x in x_values]

# Crear la gráfica
plt.figure(figsize=(10,6))
plt.plot(x_values, E_values, label='Costo Mensual E(x)', color='blue')

# Resaltar el punto de cambio en x=1200
plt.axvline(x=1200, color='red', linestyle='--', label='1200 kWh')

# Etiquetas y título
plt.xlabel('Electricidad utilizada (kWh)')
plt.ylabel('Costo mensual ($)')
plt.title('Gráfica del Costo Mensual E(x) en función de la Electricidad Utilizada')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.xlim(0, 2000)
plt.ylim(0, max(E_values) + 10)

# Mostrar la gráfica
plt.show()
```

### Explicación del Código

1. **Definición de la Función $$ E(x) $$:**
   - Se define una función en Python que calcula el costo mensual basado en la cantidad de electricidad utilizada.
   - Para $$ x \leq 1200 $$ kWh, el costo es la tasa base más 0.06 dólares por kWh.
   - Para $$ x > 1200 $$ kWh, se añade 0.07 dólares por cada kWh adicional.

2. **Generación de Valores:**
   - Se generan 400 puntos entre 0 y 2000 kWh para tener una gráfica suave.

3. **Creación de la Gráfica:**
   - Se utiliza Matplotlib para trazar la función.
   - Se añade una línea vertical discontinua en $$ x = 1200 $$ kWh para indicar el punto donde cambia la tarifa por kWh.
   - Se añaden etiquetas, título, leyenda y una cuadrícula para mejorar la legibilidad de la gráfica.

### Interpretación de la Gráfica

- **Segmento Inicial (0 ≤ x ≤ 1200):**
  - La gráfica es una línea recta con una pendiente de 0.06, representando el costo creciente a medida que se utiliza más electricidad dentro del límite de 1200 kWh.

- **Segmento Posterior (x > 1200):**
  - La pendiente aumenta a 0.07, reflejando el costo adicional por cada kWh que exceda los 1200 kWh.

- **Punto de Cambio (x = 1200):**
  - Se observa una transición en la pendiente de la gráfica, indicando el cambio en la tarifa por kWh.

Esta representación gráfica ayuda a visualizar cómo varía el costo mensual en función del consumo de electricidad y resalta el impacto de exceder los 1200 kWh contratados.
La función de costo mensual $$ E(x) $$ se define así: $$ E(x) = \begin{cases} 10 + 0.06x & \text{si } 0 \leq x \leq 1200 \ 82 + 0.07(x - 1200) & \text{si } x > 1200 \end{cases} $$ Para $$ 0 \leq x \leq 2000 $$, la gráfica de $$ E(x) $$ muestra un aumento gradual hasta 1200 kWh, luego un aumento más rápido para consumo superior a 1200 kWh.

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