9. Найдите наименьшее значение функции $$ y=\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}-6 x+9 $$ на отрезке $$ [27 ; 46] $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Наименьшее значение функции $$ y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 6x + 9 $$ на отрезке $$[27; 46]$$ достигается при $$ x = 36 $$.

**Пояснение:**

1. **Найдем производную функции:**
   $$
   y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 6x + 9\right) = x^{\frac{1}{2}} - 6
   $$

2. **Найдём критические точки:**
   $$
   y' = 0 \Rightarrow x^{\frac{1}{2}} - 6 = 0 \Rightarrow x = 36
   $$
   Критическая точка $$ x = 36 $$ принадлежит заданному отрезку $$[27; 46]$$.

3. **Вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:**
   - Для $$ x = 27 $$:
     $$
     y(27) = \frac{2}{3} \cdot 27^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 27 + 9 = \frac{2}{3} \cdot 140.296 \approx 93.530 - 162 + 9 \approx -59.47
     $$
   - Для $$ x = 36 $$:
     $$
     y(36) = \frac{2}{3} \cdot 36^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 36 + 9 = \frac{2}{3} \cdot 216 - 216 + 9 = 144 - 216 + 9 = -63
     $$
   - Для $$ x = 46 $$:
     $$
     y(46) = \frac{2}{3} \cdot 46^{\frac{3}{2}} - 6 \cdot 46 + 9 \approx \frac{2}{3} \cdot 311.983 \approx 207.989 - 276 + 9 \approx -59.011
     $$

4. **Сравнивая значения:**
   $$
   y(27) \approx -59.47, \quad y(36) = -63, \quad y(46) \approx -59.01
   $$
   Наименьшее значение функции равно $$-63$$ и достигается при $$ x = 36 $$.

**Ответ:** Наименьшее значение функции равно −63 при $$ x = 36 $$.
Наименьшее значение функции $$ y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 6x + 9 $$ на отрезке $$[27; 46]$$ равно $$-63$$ и достигается при $$ x = 36 $$.

Найдите наименьшее значение функции

на отрезке

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions

Найдите наименьшее значение функции на отрезке