$$ \qquad x^{4} y^{(4)}(x)+6 x^{3} y^{(3)}(x)+9 x^{2} y^{\prime \prime}(x)+3 x y^{\prime}(x)+y(x)=0 $$ Grafique las cuatro soluciones linealmente independientes.

Question

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Consideremos la ecuación diferencial

$$
x^{4} y^{(4)}(x)+6 x^{3} y^{(3)}(x)+9 x^{2} y^{\prime \prime}(x)+3 x y^{\prime}(x)+y(x)=0.
$$

### 1. Búsqueda de soluciones tipo potencia

Proponemos una solución de la forma

$$
y(x)=x^{r}\,.
$$

Se tienen las derivadas

$$
y'(x)=r\,x^{r-1},\quad y''(x)=r(r-1)x^{r-2},\quad y^{(3)}(x)=r(r-1)(r-2)x^{r-3},\quad y^{(4)}(x)=r(r-1)(r-2)(r-3)x^{r-4}\,.
$$

Al sustituir en la ecuación diferencial se obtiene

$$
x^4 \,r(r-1)(r-2)(r-3)x^{r-4}+6x^3 \, r(r-1)(r-2)x^{r-3}+9x^2 \, r(r-1)x^{r-2}+3x\,r\,x^{r-1}+x^r=0\,.
$$

Factorizando $$x^r$$ (para $$x\neq 0$$) obtenemos la ecuación característica

$$
r(r-1)(r-2)(r-3)+6r(r-1)(r-2)+9r(r-1)+3r+1=0\,.
$$

### 2. Simplificación de la ecuación característica

Expandamos cada término:

- $$r(r-1)(r-2)(r-3)=r^4-6r^3+11r^2-6r$$,
- $$6r(r-1)(r-2)=6\left(r^3-3r^2+2r\right)=6r^3-18r^2+12r$$,
- $$9r(r-1)=9r^2-9r$$,
- Los términos restantes son $$3r$$ y $$+1$$.

Al agrupar coeficientes obtenemos:

- Coeficiente de $$r^4$$: $$1$$.
- Coeficiente de $$r^3$$: $$-6+6=0$$.
- Coeficiente de $$r^2$$: $$11-18+9=2$$.
- Coeficiente de $$r$$: $$-6+12-9+3=0$$.
- Término constante: $$1$$.

Por lo tanto, la ecuación característica es

$$
r^4+2r^2+1=0\,.
$$

Observamos que

$$
r^4+2r^2+1=(r^2+1)^2=0\,.
$$

### 3. Determinación de las raíces

De $$(r^2+1)^2=0$$ se tiene

$$
r^2=-1\quad\Longrightarrow\quad r=\pm i\,,
$$

cada una con multiplicidad 2.

### 4. Construcción de la solución general

Recordando que para raíces complejas simples $$r=\alpha\pm i\beta$$ la solución real es de la forma

$$
x^\alpha \left[A\cos(\beta \ln x)+B\sin(\beta \ln x)\right]\,,
$$

y que ante raíces dobles se deben incluir términos con $$\ln x$$, obtenemos las cuatro soluciones linealmente independientes:

$$
\begin{aligned}
y_{1}(x)&=\cos(\ln x),\[1mm]
y_{2}(x)&=\sin(\ln x),\[1mm]
y_{3}(x)&=\cos(\ln x)\ln x,\[1mm]
y_{4}(x)&=\sin(\ln x)\ln x.
\end{aligned}
$$

### 5. Graficación de las soluciones

A continuación se muestra un ejemplo de código en Python (usando matplotlib) que grafica estas cuatro soluciones en el intervalo $$x>0$$ (por ejemplo, $$x$$ entre 0.1 y 10):

```python
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Dominio para x (x > 0 para que ln(x) esté definido)
x = np.linspace(0.1, 10, 400)
lnx = np.log(x)

# Definición de las soluciones
y1 = np.cos(lnx)
y2 = np.sin(lnx)
y3 = np.cos(lnx) * lnx
y4 = np.sin(lnx) * lnx

fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8))

axs[0, 0].plot(x, y1, 'b')
axs[0, 0].set_title(r'$y_1(x)=\cos(\ln x)$')
axs[0, 0].grid()

axs[0, 1].plot(x, y2, 'r')
axs[0, 1].set_title(r'$y_2(x)=\sin(\ln x)$')
axs[0, 1].grid()

axs[1, 0].plot(x, y3, 'g')
axs[1, 0].set_title(r'$y_3(x)=\cos(\ln x)\ln x$')
axs[1, 0].grid()

axs[1, 1].plot(x, y4, 'm')
axs[1, 1].set_title(r'$y_4(x)=\sin(\ln x)\ln x$')
axs[1, 1].grid()

plt.tight_layout()
plt.show()
```

Este código crea una figura con cuatro subgráficas, cada una mostrando una de las soluciones independientes.

En conclusión, las soluciones linealmente independientes son

$$
\begin{aligned}
y_{1}(x)&=\cos(\ln x),\[1mm]
y_{2}(x)&=\sin(\ln x),\[1mm]
y_{3}(x)&=\cos(\ln x)\ln x,\[1mm]
y_{4}(x)&=\sin(\ln x)\ln x,
\end{aligned}
$$

y con el código anterior se pueden graficar en el intervalo $$x \in (0.1,10)$$.
Las cuatro soluciones linealmente independientes de la ecuación diferencial son: 1. $$ y_1(x) = \cos(\ln x) $$ 2. $$ y_2(x) = \sin(\ln x) $$ 3. $$ y_3(x) = \cos(\ln x) \cdot \ln x $$ 4. $$ y_4(x) = \sin(\ln x) \cdot \ln x $$ Estas soluciones se pueden graficar en el intervalo $$ x > 0 $$ utilizando el siguiente código en Python: ```python import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(0.1, 10, 400) lnx = np.log(x) y1 = np.cos(lnx) y2 = np.sin(lnx) y3 = np.cos(lnx) * lnx y4 = np.sin(lnx) * lnx fig, axs = plt.subplots(2, 2, figsize=(10, 8)) axs[0, 0].plot(x, y1, 'b') axs[0, 0].set_title(r'$y_1(x)=\cos(\ln x)$') axs[0, 0].grid() axs[0, 1].plot(x, y2, 'r') axs[0, 1].set_title(r'$y_2(x)=\sin(\ln x)$') axs[0, 1].grid() axs[1, 0].plot(x, y3, 'g') axs[1, 0].set_title(r'$y_3(x)=\cos(\ln x)\ln x$') axs[1, 0].grid() axs[1, 1].plot(x, y4, 'm') axs[1, 1].set_title(r'$y_4(x)=\sin(\ln x)\ln x$') axs[1, 1].grid() plt.tight_layout() plt.show() ``` Este código genera cuatro gráficas que representan cada una de las soluciones independientes en el intervalo especificado.

Grafique las cuatro soluciones linealmente independientes.

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