1. (2 puntos). Resolver la ecuación logaritmica \( \frac{\log (x+3)}{\log (x-3)}=1+\log _{3}(3) \)

Para resolver la ecuación logarítmica \( \frac{\log (x+3)}{\log (x-3)}=1+\log _{3}(3) \), primero simplificamos el lado derecho. Sabemos que \( \log_{3}(3) = 1 \), así que la ecuación se convierte en: \[ \frac{\log (x+3)}{\log (x-3)} = 2 \] Esto implica que: \[ \log (x+3) = 2 \log (x-3) \] Aplicando propiedades de los logaritmos, podemos reescribir \( 2 \log (x-3) \) como \( \log((x-3)^2) \). Así que nuestra ecuación se convierte en: \[ \log (x+3) = \log((x-3)^2) \] Igualando las argumentaciones, tenemos: \[ x + 3 = (x - 3)^2 \] Desarrollamos el lado derecho: \[ x + 3 = x^2 - 6x + 9 \] Reorganizamos para formar una ecuación cuadrática: \[ 0 = x^2 - 7x + 6 \] Factorizamos: \[ 0 = (x - 6)(x - 1) \] Por lo tanto, tenemos dos posibles soluciones: \( x = 6 \) y \( x = 1 \). Ahora, debemos asegurarnos de que estas soluciones sean válidas dentro de los límites de los logaritmos. Para \( x = 6 \): - \( x + 3 = 9 > 0 \) y \( x - 3 = 3 > 0 \) (válido) Para \( x = 1 \): - \( x + 3 = 4 > 0 \) y \( x - 3 = -2 < 0 \) (no válido) La única solución válida es \( x = 6 \).