6.(6 boda) Provjerite da je vektorsko polje \( \vec{F}(x, y, z)=\left(z^{2}, z, 2 x z+y\right) \) konzervativno, nađite mu potencijal i pomoću njega izračunajte \( \int_{(1,1,2)}^{(2,1,3)} \vec{F} d \vec{r} \).

Da bismo provjerili je li vektorsko polje \( \vec{F}(x, y, z) = \left(z^{2},\ z,\ 2 x z + y\right) \) konzervativno, pronašli ćemo njegov potencijalni skalarni potencijal \( \phi \) i izračunali linijski integral između točaka \( (1,1,2) \) i \( (2,1,3) \). ### 1. Provjera konzervativnosti Vektorsko polje je konzervativno ako je njegov rotor jednak nuli, tj. \( \nabla \times \vec{F} = \vec{0} \). Za \( \vec{F} = (P, Q, R) \), rotor je: \[ \nabla \times \vec{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z},\ \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x},\ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \] Izračunajmo komponente rotora: \[ \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial (2xz + y)}{\partial y} = 1 \] \[ \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial z}{\partial z} = 1 \] \[ \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial z^{2}}{\partial z} = 2z \] \[ \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial (2xz + y)}{\partial x} = 2z \] \[ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial x} = 0 \] \[ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial z^{2}}{\partial y} = 0 \] Dakle: \[ \nabla \times \vec{F} = (1 - 1,\ 2z - 2z,\ 0 - 0) = (0,\ 0,\ 0) \] Pošto je rotor nula, vektorsko polje \( \vec{F} \) je konzervativno. ### 2. Pronalaženje potencijalnog skalarne funkcije \( \phi \) Tražimo funkciju \( \phi(x, y, z) \) takvu da je \( \nabla \phi = \vec{F} \), tj.: \[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = z^{2},\ \frac{\partial \phi}{\partial y} = z,\ \frac{\partial \phi}{\partial z} = 2xz + y \] Integrirajmo prvu jednadžbu s obzirom na \( x \): \[ \phi = z^{2} x + g(y, z) \] Gdje je \( g(y, z) \) funkcija koja ne ovisi o \( x \). Sada koristimo drugu jednadžbu: \[ \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial g}{\partial y} = z \Rightarrow g(y, z) = z y + h(z) \] Gdje je \( h(z) \) funkcija koja ovisi samo o \( z \). Dakle: \[ \phi = z^{2} x + z y + h(z) \] Koristimo treću jednadžbu: \[ \frac{\partial \phi}{\partial z} = 2xz + y + h'(z) = 2xz + y \] Iz toga slijedi da je \( h'(z) = 0 \), pa je \( h(z) \) konstanta. Možemo je uzeti kao nulu bez gubitka općenitosti. Dakle, potencijalna funkcija je: \[ \phi = z^{2} x + z y \] ### 3. Izračunavanje linijskog integrala Budući da je \( \vec{F} \) konzervativno polje, integral se može izračunati razlike potencijalnih funkcija u krajnjim točkama: \[ \int_{(1,1,2)}^{(2,1,3)} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \phi(2,1,3) - \phi(1,1,2) \] Izračunajmo: \[ \phi(2,1,3) = 3^{2} \cdot 2 + 3 \cdot 1 = 18 + 3 = 21 \] \[ \phi(1,1,2) = 2^{2} \cdot 1 + 2 \cdot 1 = 4 + 2 = 6 \] \[ \int_{(1,1,2)}^{(2,1,3)} \vec{F} \cdot d\vec{r} = 21 - 6 = 15 \] ### Zaključak Vektorsko polje \( \vec{F}(x, y, z) \) je konzervativno s potencijalom \( \phi = z^{2} x + z y \). Linijski integral od točke \( (1,1,2) \) do točke \( (2,1,3) \) iznosi **15**.