En una circunferencia de 1.00 m de radio está inscrito un rectángulo de dimensiones variables. Formular una función para determinar el área del rectángulo en términos de la longitud " \( z \) " de su base.

Para formular una función que determine el área del rectángulo inscrito en una circunferencia de radio \( r = 1.00 \, \text{m} \) en términos de la longitud \( z \) de su base, seguiremos estos pasos: 1. **Identificar las dimensiones del rectángulo**: - Sea \( z \) la longitud de la base del rectángulo. - Llamemos \( h \) a la altura del rectángulo. 2. **Relación entre el rectángulo y la circunferencia**: - El rectángulo está inscrito en la circunferencia, lo que significa que sus vértices tocan la circunferencia. - La relación entre la base \( z \), la altura \( h \) y el radio \( r \) de la circunferencia se puede expresar usando el teorema de Pitágoras. Para un rectángulo inscrito, se tiene que: \[ \left(\frac{z}{2}\right)^2 + h^2 = r^2 \] - Dado que \( r = 1 \, \text{m} \), la ecuación se convierte en: \[ \left(\frac{z}{2}\right)^2 + h^2 = 1 \] 3. **Despejar \( h \)**: - Despejamos \( h \) de la ecuación anterior: \[ h^2 = 1 - \left(\frac{z}{2}\right)^2 \] \[ h = \sqrt{1 - \left(\frac{z}{2}\right)^2} \] 4. **Calcular el área \( A \) del rectángulo**: - El área \( A \) del rectángulo se calcula como: \[ A = z \cdot h \] - Sustituyendo \( h \): \[ A = z \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{z}{2}\right)^2} \] 5. **Función del área en términos de \( z \)**: - Por lo tanto, la función que determina el área del rectángulo en términos de la longitud \( z \) de su base es: \[ A(z) = z \cdot \sqrt{1 - \left(\frac{z}{2}\right)^2} \] Esta es la función que describe el área del rectángulo inscrito en la circunferencia de 1.00 m de radio en función de la longitud de su base \( z \).