4-) $$ \left(20+20 ight. $$ point For given matrix $$ A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1\end{array} ight] $$ a) Find characteristic equation. b) Find eigenvalues and eigenvectors. c) If possible find an invertible matrix $$ P $$ such that $$ D=P^{-1} A P $$ is diagonal and write this diagonal matrix $$ D $$. d) Find $$ A^{35} $$. e) Find $$ A^{-1} $$ by using Cayley Hamilton Theorem.

Question

4-) $$ \left(20+20ight. $$ point For given matrix $$ A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 0 & 0 \ 0 & 1 & 1 \ 0 & 1 & 1\end{array}ight] $$ a) Find characteristic equation. b) Find eigenvalues and eigenvectors. c) If possible find an invertible matrix $$ P $$ such that $$ D=P^{-1} A P $$ is diagonal and write this diagonal matrix $$ D $$. d) Find $$ A^{35} $$. e) Find $$ A^{-1} $$ by using Cayley Hamilton Theorem.

UpStudy AI · Accepted Answer

### a) Karakteristik Denklemi Bulma

Karakteristik denklemi bulmak için, matris $$ A $$'nın özdeğerlerini belirlemek amacıyla $$\det(A - \lambda I) = 0$$ eşitliğini çözmemiz gerekmektedir. Burada $$ I $$ birim matristir ve $$ \lambda $$ özdeğeri temsil eder.

Matris $$ A - \lambda I $$:

$$
A - \lambda I = \begin{bmatrix}
-1 - \lambda & 0 & 0 \
0 & 1 - \lambda & 1 \
0 & 1 & 1 - \lambda
\end{bmatrix}
$$

Determinantını hesaplayalım:

$$
\det(A - \lambda I) = (-1 - \lambda) \cdot \det\begin{bmatrix}
1 - \lambda & 1 \
1 & 1 - \lambda
\end{bmatrix}
$$

$$
= (-1 - \lambda) \left[(1 - \lambda)(1 - \lambda) - 1 \cdot 1\right]
$$

$$
= (-1 - \lambda) \left[(1 - \lambda)^2 - 1\right]
$$

$$
= (-1 - \lambda) \left[1 - 2\lambda + \lambda^2 - 1\right]
$$

$$
= (-1 - \lambda)(\lambda^2 - 2\lambda)
$$

$$
= -\lambda(\lambda^2 - 2\lambda) -1(\lambda^2 - 2\lambda)
$$

$$
= -\lambda^3 + 2\lambda^2 - \lambda^2 + 2\lambda
$$

$$
= -\lambda^3 + \lambda^2 + 2\lambda
$$

Bu ifadeyi standart forma getirirsek:

$$
\lambda^3 - \lambda^2 - 2\lambda = 0
$$

Dolayısıyla, karakteristik denklem:

$$
\lambda^3 - \lambda^2 - 2\lambda = 0
$$

veya ortak çarpanı alarak:

$$
\lambda(\lambda^2 - \lambda - 2) = 0
$$

### b) Özdeğerler ve Özvektörleri Bulma

Karakteristik denklemi çözerek özdeğerleri bulabiliriz:

$$
\lambda(\lambda^2 - \lambda - 2) = 0
$$

Bu denklemi çözersek:

1. $$\lambda = 0$$
2. $$\lambda^2 - \lambda - 2 = 0$$

İkinci denklemi çözmek için diskriminantı hesaplayalım:

$$
\Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
$$

Dolayısıyla,

$$
\lambda = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2}
$$

Bu da:

$$
\lambda_2 = 2 \quad \text{ve} \quad \lambda_3 = -1
$$

**Özdeğerler:**
$$
\lambda_1 = 0, \quad \lambda_2 = 2, \quad \lambda_3 = -1
$$

**Özvektörlerin Bulunması:**

1. **$$\lambda_1 = 0$$:**

$$
(A - 0I)\mathbf{v} = A\mathbf{v} = 0
$$

Matris denklemi:

$$
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_1 \
v_2 \
v_3
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
0 \
0 \
0
\end{bmatrix}
$$

Bu denklemlerden:

$$
- v_1 = 0 \Rightarrow v_1 = 0
$$

$$
v_2 + v_3 = 0 \Rightarrow v_2 = -v_3
$$

Özvektör:

$$
\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{bmatrix}
$$

2. **$$\lambda_2 = 2$$:**

$$
(A - 2I)\mathbf{v} = 
\begin{bmatrix}
-3 & 0 & 0 \
0 & -1 & 1 \
0 & 1 & -1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_1 \
v_2 \
v_3
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
0 \
0 \
0
\end{bmatrix}
$$

Denklemler:

$$
-3v_1 = 0 \Rightarrow v_1 = 0
$$

$$
- v_2 + v_3 = 0 \Rightarrow v_3 = v_2
$$

Özvektör:

$$
\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{bmatrix}
$$

3. **$$\lambda_3 = -1$$:**

$$
(A + I)\mathbf{v} = 
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 2 & 1 \
0 & 1 & 2
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
v_1 \
v_2 \
v_3
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
0 \
0 \
0
\end{bmatrix}
$$

Denklemler:

$$
0 \cdot v_1 + 0 \cdot v_2 + 0 \cdot v_3 = 0
$$

$$
2v_2 + v_3 = 0 \Rightarrow v_3 = -2v_2
$$

$$
v_2 + 2v_3 = 0 \Rightarrow v_2 + 2(-2v_2) = 0 \Rightarrow -3v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = 0 \Rightarrow v_3 = 0
$$

Bu durumda, sadece $$ v_1 $$ serbest değişkendir.

Özvektör:

$$
\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix}
$$

### c) Diagonalizasyon için İnvertible Matris $$ P $$ ve Diagonal Matris $$ D $$

Matris $$ A $$'nın üç farklı özdeğeri olduğundan ve her bir özdeğer için özvektörlerin lineer bağımsız olduğundan, $$ A $$ diagonalize edilebilir.

**İnvertible Matris $$ P $$:**

Özvektörleri sütun olarak alarak:

$$
P = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \
1 & 1 & 0 \
-1 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

**Diagonal Matris $$ D $$:**

Özdeğerleri diagonal elemanlar olarak yerleştirirsek:

$$
D = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 2 & 0 \
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$

Dolayısıyla:

$$
D = P^{-1} A P
$$

### d) $$ A^{35} $$ Matrisini Bulma

Eğer $$ A = PDP^{-1} $$ şeklinde diagonalize edilebilirse, kuvvetini almak daha kolaydır:

$$
A^{35} = (PDP^{-1})^{35} = PD^{35}P^{-1}
$$

Öncelikle $$ D^{35} $$'i hesaplayalım:

$$
D^{35} = \begin{bmatrix}
0^{35} & 0 & 0 \
0 & 2^{35} & 0 \
0 & 0 & (-1)^{35}
\end{bmatrix}
= 
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 0 \
0 & 2^{35} & 0 \
0 & 0 & -1
\end{bmatrix}
$$

Sonrasında:

$$
A^{35} = P D^{35} P^{-1}
$$

Bu ifadeyi direkt hesaplamak oldukça karmaşık olabilir. Ancak, $$ A $$'nın yapısı gereği belirli güçlerde daha sade ifadeler elde edilebilir. Ancak genel olarak, yukarıdaki formül kullanılarak $$ A^{35} $$ bulunabilir.

### e) Cayley-Hamilton Teoremi Kullanarak $$ A^{-1} $$ Matrisini Bulma

Cayley-Hamilton Teoremi'ne göre, bir kare matris kendi karakteristik denklemini sağlar. Öncelikle karakteristik denklemi kullanarak $$ A^{-1} $$'i bulabiliriz.

Karakteristik denklemimiz:

$$
\lambda^3 - \lambda^2 - 2\lambda = 0
$$

Matris denklemi olarak:

$$
A^3 - A^2 - 2A = 0
$$

Bu denklemi $$ A^{-1} $$ bulmak için düzenleyelim:

$$
A^3 - A^2 - 2A = 0 \Rightarrow A(A^2 - A - 2I) = 0
$$

Ancak doğrudan $$ A^{-1} $$ bulmak için daha etkili bir yol, denklemi $$ A^{-1} $$ cinsinden çözmektir. Öncelikle, karakteristik denklemden:

$$
A^3 = A^2 + 2A
$$

Bununla birlikte, matris $$ A $$ kare ve invertible olduğunu varsayarsak ($$ \det(A) \neq 0 $$), $$ A^{-1} $$'i elde etmek için karakteristik denklemi kullanabiliriz.

Karakteristik denklem:

$$
A^3 - A^2 - 2A = 0 \Rightarrow A(A^2 - A - 2I) = 0
$$

Eğer $$ A $$ invertible ise, $$ A^2 - A -2I = 0 $$

$$
A^2 - A = 2I \Rightarrow A(A - I) = 2I \Rightarrow A^{-1} = \frac{1}{2}(A - I)
$$

Dolayısıyla,

$$
A^{-1} = \frac{1}{2}\left( \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 1 \
0 & 1 & 1
\end{bmatrix}
- 
\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \
0 & 1 & 0 \
0 & 0 & 1
\end{bmatrix} \right)
$$

$$
= \frac{1}{2} \begin{bmatrix}
-2 & 0 & 0 \
0 & 0 & 1 \
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}
$$

$$
= \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \
0 & 0 & \frac{1}{2} \
0 & \frac{1}{2} & 0
\end{bmatrix}
$$

Sonuç olarak:

$$
A^{-1} = \frac{1}{2}(A - I) = \begin{bmatrix}
-1 & 0 & 0 \
0 & 0 & \frac{1}{2} \
0 & \frac{1}{2} & 0
\end{bmatrix}
$$
a) Karakteristik denklem: $$ \lambda^3 - \lambda^2 - 2\lambda = 0 $$ b) Özdeğerler: $$ \lambda_1 = 0 $$, $$ \lambda_2 = 2 $$, $$ \lambda_3 = -1 $$ Özvektörler: - $$ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ -1 \end{bmatrix} $$ - $$ \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1 \end{bmatrix} $$ - $$ \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 1 \ 0 \ 0 \end{bmatrix} $$ c) İnvertible matris $$ P $$ ve diagonal matris $$ D $$: $$ P = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \ 1 & 1 & 0 \ -1 & 1 & 0 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \ 0 & 2 & 0 \ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$ ve $$ D = P^{-1} A P $$ d) $$ A^{35} = P D^{35} P^{-1} $$, burada $$ D^{35} $$ hesaplanabilir. e) $$ A^{-1} = \frac{1}{2}(A - I) = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 \ 0 & 0 & \frac{1}{2} \ 0 & \frac{1}{2} & 0 \end{bmatrix} $$

4-) point For given matrix
a) Find characteristic equation.
b) Find eigenvalues and eigenvectors.
c) If possible find an invertible matrix such that is diagonal and write this diagonal matrix .
d) Find .
e) Find by using Cayley Hamilton Theorem.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

a) Find the Characteristic Equation

b) Find Eigenvalues and Eigenvectors

c) Find such that

d) Find

Related Questions

Latest Other Questions

4-) point For given matrix a) Find characteristic equation. b) Find eigenvalues and eigenvectors. c) If possible find an invertible matrix such that is diagonal and write this diagonal matrix . d) Find . e) Find by using Cayley Hamilton Theorem.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

a) Find the Characteristic Equation

b) Find Eigenvalues and Eigenvectors

c) Find such that

d) Find

Related Questions

Latest Other Questions

4-) point For given matrix
a) Find characteristic equation.
b) Find eigenvalues and eigenvectors.
c) If possible find an invertible matrix such that is diagonal and write this diagonal matrix .
d) Find .
e) Find by using Cayley Hamilton Theorem.