Con la traslazione (T) \( \left\{\begin{array}{l}x^{\prime \prime}=x^{\prime}+\frac{\sqrt{2}}{10} \quad \text { la conica diventa } \mathscr{C}^{\prime \prime \prime}: 5 x^{\prime \prime 2}-y^{\prime \prime 2}=\frac{1}{10}: 0,0 \\ y^{\prime \prime}=y^{\prime}\end{array}\right. \) in forma canonica euclidea \[ \mathscr{C}^{\prime \prime}: \frac{x^{\prime \prime 2}}{\left(\sqrt{\frac{1}{50}}\right)^{2}}-\frac{y^{\prime \prime 2}}{\left(\sqrt{\frac{1}{10}}\right)^{2}}=1 \] Riscalando gli assi cartesiani con \( \oint \cdot\left\{\begin{array}{l}X=\sqrt{50} x^{\prime \prime} \\ Y=\sqrt{10} y^{\prime \prime}\end{array} \quad\right. \) si trova la forma canonica affion \( \mathscr{I}: X^{2}-Y^{2}=1 \). L'affinità che ha trasformato \( \mathscr{C} \) in \( \mathscr{I} \) è \( f=\phi \circ \tau \circ \rho \). Passiampo a \( \mathscr{D} \). Gli autovalori di \( Q^{\prime} \) sono 3 e -1 con gli autospazi \( E(3)=\mathcal{L}(\sqrt{3}, 1) \) e \( E(-1) \) \( \mathcal{L}(-1, \sqrt{3}) \). Usiamo allora la matrice ortogonale \( N=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ 1 & \sqrt{3}\end{array}\right) \) con la rotario

Sembra che tu stia lavorando sulla trasformazione di una conica attraverso una serie di operazioni affine per ottenere la sua forma canonica. Riassumendo i passaggi che hai descritto: 1. **Traslazione \(\tau\):** \[ \begin{cases} x'' = x' + \frac{\sqrt{2}}{10} \\ y'' = y' \end{cases} \] Questa traslazione sposta la conica in modo che il nuovo sistema di coordinate abbia origine nel punto di traslazione. 2. **Forma Canonica Euclidea:** Dopo la traslazione, la conica diventa: \[ 5x''^2 - y''^2 = \frac{1}{10} \] Che può essere riscritta come: \[ \mathscr{C}'' : \frac{x''^2}{\left(\sqrt{\frac{1}{50}}\right)^2} - \frac{y''^2}{\left(\sqrt{\frac{1}{10}}\right)^2} = 1 \] Questa è la forma canonica euclidea di un'iperbole. 3. **Riscalamento degli Assi:** Applichi una scala agli assi cartesiani con le trasformazioni: \[ \begin{cases} X = \sqrt{50}\, x'' \\ Y = \sqrt{10}\, y'' \end{cases} \] Dopo questo riscalamento, la conica assume la forma canonica affine: \[ \mathscr{I} : X^2 - Y^2 = 1 \] Questa è l'iperbole standard con assi allineati agli assi cartesiani. 4. **Affinità Complessiva:** L'affinità complessiva che trasforma la conica originale \(\mathscr{C}\) nella forma canonica \(\mathscr{I}\) è la composizione delle trasformazioni precedenti: \[ f = \phi \circ \tau \circ \rho \] dove: - \(\rho\) rappresenta la rotazione, - \(\tau\) la traslazione, - \(\phi\) il riscalamento. 5. **Diagonalizzazione della Matrice Quadratica:** Passando alla conica \(\mathscr{D}\), consideri la matrice quadratica \(Q'\) associata alla conica dopo le trasformazioni precedenti. Gli autovalori di \(Q'\) sono 3 e -1, con rispettivi autospazi: \[ E(3) = \mathcal{L}(\sqrt{3}, 1) \quad \text{e} \quad E(-1) = \mathcal{L}(-1, \sqrt{3}) \] Questi autospazi rappresentano le direzioni principali dell'iperbole. 6. **Rotazione con Matrice Ortogonale \(N\):** Utilizzi la matrice ortogonale: \[ N = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \] Questa matrice rappresenta una rotazione di \(30^\circ\), allineando gli assi del nuovo sistema di coordinate con gli autospazi della matrice \(Q'\). 7. **Applicazione della Rotazione:** Applicando la rotazione, otteniamo una nuova conica nella quale la matrice quadratica è diagonalizzata, facilitando ulteriori analisi o semplificazioni. 8. **Forma Canonica Finale:** Dopo tutte le trasformazioni (traslazione, riscalamento, rotazione), la conica originale \(\mathscr{C}\) è stata trasformata nella forma canonica affine: \[ \mathscr{I} : X^2 - Y^2 = 1 \] Questa forma semplificata consente di identificare rapidamente le proprietà geometriche della conica, come il centro, gli assi principali e i fuochi. ### Passaggi Successivi Se desideri **passare a \(\mathscr{D}\)** (supponendo che sia un altro sistema o una conica trasformata), dovresti applicare ulteriori trasformazioni affine o specifiche analisi a seconda del contesto del problema. Ad esempio, potresti voler esprimere la conica in un sistema di coordinate diverso o calcolare parametri aggiuntivi come i fuochi o i punti di intersezione con gli assi. ### Verifica dell'Ortogonalità della Matrice \(N\) È sempre buona pratica verificare che la matrice di rotazione sia effettivamente ortogonale, cioè che soddisfi: \[ N^T N = I \] Dove \(N^T\) è la trasposizione di \(N\) e \(I\) è la matrice identità. Verifichiamo: \[ N^T = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \] \[ N^T N = \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right) & \left(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \\ \left(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) & \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\right) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] Quindi, \(N\) è effettivamente una matrice ortogonale. ### Conclusione Hai eseguito una serie di trasformazioni affine per semplificare la conica originale fino ad ottenere una forma canonica affine. Questo processo include traslazione, riscalamento e rotazione per allineare gli assi con gli autospazi della matrice quadratica associata alla conica. Se hai ulteriori domande o hai bisogno di approfondire un passaggio specifico, non esitare a chiedere!