Con la traslazione (T) $$ \left\{\begin{array}{l}x^{\prime \prime}=x^{\prime}+\frac{\sqrt{2}}{10} \quad \text { la conica diventa } \mathscr{C}^{\prime \prime \prime}: 5 x^{\prime \prime 2}-y^{\prime \prime 2}=\frac{1}{10}: 0,0 \ y^{\prime \prime}=y^{\prime}\end{array}\right. $$ in forma canonica euclidea $$ \mathscr{C}^{\prime \prime}: \frac{x^{\prime \prime 2}}{\left(\sqrt{\frac{1}{50}}\right)^{2}}-\frac{y^{\prime \prime 2}}{\left(\sqrt{\frac{1}{10}}\right)^{2}}=1 $$ Riscalando gli assi cartesiani con $$ \oint \cdot\left\{\begin{array}{l}X=\sqrt{50} x^{\prime \prime} \ Y=\sqrt{10} y^{\prime \prime}\end{array} \quad\right. $$ si trova la forma canonica affion $$ \mathscr{I}: X^{2}-Y^{2}=1 $$. L'affinità che ha trasformato $$ \mathscr{C} $$ in $$ \mathscr{I} $$ è $$ f=\phi \circ \tau \circ \rho $$. Passiampo a $$ \mathscr{D} $$. Gli autovalori di $$ Q^{\prime} $$ sono 3 e -1 con gli autospazi $$ E(3)=\mathcal{L}(\sqrt{3}, 1) $$ e $$ E(-1) $$ $$ \mathcal{L}(-1, \sqrt{3}) $$. Usiamo allora la matrice ortogonale $$ N=\left(\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \ 1 & \sqrt{3}\end{array}\right) $$ con la rotario

Question

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Sembra che tu stia lavorando sulla trasformazione di una conica attraverso una serie di operazioni affine per ottenere la sua forma canonica. Riassumendo i passaggi che hai descritto:

1. **Traslazione $$\tau$$:**
   $$
   \begin{cases}
   x'' = x' + \frac{\sqrt{2}}{10} \
   y'' = y'
   \end{cases}
   $$
   Questa traslazione sposta la conica in modo che il nuovo sistema di coordinate abbia origine nel punto di traslazione.

2. **Forma Canonica Euclidea:**
   Dopo la traslazione, la conica diventa:
   $$
   5x''^2 - y''^2 = \frac{1}{10}
   $$
   Che può essere riscritta come:
   $$
   \mathscr{C}'' : \frac{x''^2}{\left(\sqrt{\frac{1}{50}}\right)^2} - \frac{y''^2}{\left(\sqrt{\frac{1}{10}}\right)^2} = 1
   $$
   Questa è la forma canonica euclidea di un'iperbole.

3. **Riscalamento degli Assi:**
   Applichi una scala agli assi cartesiani con le trasformazioni:
   $$
   \begin{cases}
   X = \sqrt{50}\, x'' \
   Y = \sqrt{10}\, y''
   \end{cases}
   $$
   Dopo questo riscalamento, la conica assume la forma canonica affine:
   $$
   \mathscr{I} : X^2 - Y^2 = 1
   $$
   Questa è l'iperbole standard con assi allineati agli assi cartesiani.

4. **Affinità Complessiva:**
   L'affinità complessiva che trasforma la conica originale $$\mathscr{C}$$ nella forma canonica $$\mathscr{I}$$ è la composizione delle trasformazioni precedenti:
   $$
   f = \phi \circ \tau \circ \rho
   $$
   dove:
   - $$\rho$$ rappresenta la rotazione,
   - $$\tau$$ la traslazione,
   - $$\phi$$ il riscalamento.

5. **Diagonalizzazione della Matrice Quadratica:**
   Passando alla conica $$\mathscr{D}$$, consideri la matrice quadratica $$Q'$$ associata alla conica dopo le trasformazioni precedenti. Gli autovalori di $$Q'$$ sono 3 e -1, con rispettivi autospazi:
   $$
   E(3) = \mathcal{L}(\sqrt{3}, 1) \quad \text{e} \quad E(-1) = \mathcal{L}(-1, \sqrt{3})
   $$
   Questi autospazi rappresentano le direzioni principali dell'iperbole.

6. **Rotazione con Matrice Ortogonale $$N$$:**
   Utilizzi la matrice ortogonale:
   $$
   N = \begin{pmatrix}
   \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \
   \frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
   \end{pmatrix}
   $$
   Questa matrice rappresenta una rotazione di $$30^\circ$$, allineando gli assi del nuovo sistema di coordinate con gli autospazi della matrice $$Q'$$.

7. **Applicazione della Rotazione:**
   Applicando la rotazione, otteniamo una nuova conica nella quale la matrice quadratica è diagonalizzata, facilitando ulteriori analisi o semplificazioni.

8. **Forma Canonica Finale:**
   Dopo tutte le trasformazioni (traslazione, riscalamento, rotazione), la conica originale $$\mathscr{C}$$ è stata trasformata nella forma canonica affine:
   $$
   \mathscr{I} : X^2 - Y^2 = 1
   $$
   Questa forma semplificata consente di identificare rapidamente le proprietà geometriche della conica, come il centro, gli assi principali e i fuochi.

### Passaggi Successivi

Se desideri **passare a $$\mathscr{D}$$** (supponendo che sia un altro sistema o una conica trasformata), dovresti applicare ulteriori trasformazioni affine o specifiche analisi a seconda del contesto del problema. Ad esempio, potresti voler esprimere la conica in un sistema di coordinate diverso o calcolare parametri aggiuntivi come i fuochi o i punti di intersezione con gli assi.

### Verifica dell'Ortogonalità della Matrice $$N$$

È sempre buona pratica verificare che la matrice di rotazione sia effettivamente ortogonale, cioè che soddisfi:
$$
N^T N = I
$$
Dove $$N^T$$ è la trasposizione di $$N$$ e $$I$$ è la matrice identità. Verifichiamo:

$$
N^T = \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
$$

$$
N^T N = \begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{2} \
-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{1}{2} \
\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\left(\frac{3}{4} + \frac{1}{4}\right) & \left(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) \
\left(-\frac{\sqrt{3}}{4} + \frac{\sqrt{3}}{4}\right) & \left(\frac{1}{4} + \frac{3}{4}\right)
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
1 & 0 \
0 & 1
\end{pmatrix}
$$
Quindi, $$N$$ è effettivamente una matrice ortogonale.

### Conclusione

Hai eseguito una serie di trasformazioni affine per semplificare la conica originale fino ad ottenere una forma canonica affine. Questo processo include traslazione, riscalamento e rotazione per allineare gli assi con gli autospazi della matrice quadratica associata alla conica. Se hai ulteriori domande o hai bisogno di approfondire un passaggio specifico, non esitare a chiedere!
Hai eseguito una serie di trasformazioni affine per semplificare la conica originale fino ad ottenere la sua forma canonica affine. Questo processo include traslazione, riscalamento e rotazione per allineare gli assi con gli autospazi della matrice quadratica associata alla conica.

Con la traslazione (T) in forma canonica euclidea

Riscalando gli assi cartesiani con si trova la forma canonica affion . L’affinità che ha trasformato in è . Passiampo a . Gli autovalori di sono 3 e -1 con gli autospazi e . Usiamo allora la matrice ortogonale con la rotario

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