Sur la feuille annexe, $$ A B C $$ est un triangle tel que $$ A B=6 \mathrm{~cm} $$. $$ E $$ est le point du plan tel que $$ \overrightarrow{A E}=\frac{4}{3} \overrightarrow{A C} $$. 1 - Construis sur la feuille annexe le point $$ F $$ tel que $$ \overrightarrow{B F}=\frac{1}{3} \vec{A} $$ 2 - Justifie que $$ \overrightarrow{A F}=\frac{4}{3} \overrightarrow{A B} $$ 3 - Justifie que les vecteurs $$ \overrightarrow{F E} $$ et $$ \overrightarrow{B C} $$ sont colinéaires.

Question

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Pour résoudre ce problème vectoriel dans le triangle $$ ABC $$ avec $$ AB = 6 $$ cm, nous allons aborder chaque question étape par étape.

### 1. Construction du point $$ F $$ tel que $$ \overrightarrow{BF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} $$

**Étapes de construction :**

1. **Tracer le triangle $$ ABC $$:**
   - Dessinez la base $$ AB $$ de 6 cm.
   - Placez le point $$ C $$ de manière quelconque pour former le triangle.

2. **Déterminer la longueur $$ BF $$:**
   - Puisque $$ \overrightarrow{BF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} $$, la longueur $$ BF $$ est $$ \frac{1}{3} \times 6 $$ cm = **2 cm**.

3. **Construire le point $$ F $$:**
   - À partir de $$ B $$, mesurez 2 cm le long de la droite $$ AB $$ en direction de $$ A $$.
   - Marquez ce point comme étant $$ F $$.

![Construction du point F](https://i.imgur.com/XYZ1234.png) *(Remplacer par un schéma approprié)*

### 2. Justification que $$ \overrightarrow{AF} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} $$

**Justification vectorielle :**

1. **Exprimer $$ \overrightarrow{AF} $$ en termes de $$ \overrightarrow{AB} $$:**
   - On sait que $$ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} $$.

2. **Remplacer $$ \overrightarrow{BF} $$ par sa valeur :**
   - $$ \overrightarrow{BF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} $$.

3. **Calculer $$ \overrightarrow{AF} $$ :**
   $$
   \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} = \left(1 + \frac{1}{3}\right) \overrightarrow{AB} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AB}
   $$

Ainsi, $$ \overrightarrow{AF} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} $$.

### 3. Justification que les vecteurs $$ \overrightarrow{FE} $$ et $$ \overrightarrow{BC} $$ sont colinéaires

**Justification :**

1. **Expression des vecteurs $$ \overrightarrow{FE} $$ et $$ \overrightarrow{BC} $$ :**
   - $$ \overrightarrow{FE} = \overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AF} $$
   - Or, $$ \overrightarrow{AE} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AC} $$ et $$ \overrightarrow{AF} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} $$.

2. **Substituer les expressions :**
   $$
   \overrightarrow{FE} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AC} - \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} = \frac{4}{3} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \frac{4}{3} \overrightarrow{BC}
   $$
   (puisque $$ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} $$).

3. **Conclusion sur la colinéarité :**
   - $$ \overrightarrow{FE} = \frac{4}{3} \overrightarrow{BC} $$ montre que $$ \overrightarrow{FE} $$ est une multiple scalaire de $$ \overrightarrow{BC} $$.
   - Par définition, deux vecteurs multiples scalaires sont **colinéaires**.

Ainsi, $$ \overrightarrow{FE} $$ et $$ \overrightarrow{BC} $$ sont colinéaires.
1. **Construction du point $$ F $$:** - Tracer le triangle $$ ABC $$ avec $$ AB = 6 $$ cm. - À partir de $$ B $$, mesurer 2 cm le long de $$ AB $$ vers $$ A $$ et marquer ce point comme $$ F $$. 2. **Justification de $$ \overrightarrow{AF} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} $$:** - $$ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} $$. - $$ \overrightarrow{BF} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} $$. - Donc, $$ \overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} = \frac{4}{3} \overrightarrow{AB} $$. 3. **Justification que $$ \overrightarrow{FE} $$ et $$ \overrightarrow{BC} $$ sont colinéaires:** - $$ \overrightarrow{FE} = \frac{4}{3} \overrightarrow{BC} $$. - Cela signifie que $$ \overrightarrow{FE} $$ est un multiple de $$ \overrightarrow{BC} $$, donc ils sont colinéaires.

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