Question
Problema 1 (2 puntos) Hallar todos los vectores perpendiculares a \( \vec{u}= \) \( (-3,-4) \) que tengan módulo 20 .
Ask by Bowers May. in Spain
Dec 29,2024
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Answer
Los vectores perpendiculares a \((-3, -4)\) con módulo 20 son \((16, -12)\) y \((-16, 12)\).
Solution
Para encontrar todos los vectores \(\vec{v}\) que son perpendiculares a \(\vec{u} = (-3, -4)\) y que tienen un módulo de 20, seguimos estos pasos:
1. **Condición de perpendicularidad:**
\[
\vec{u} \cdot \vec{v} = 0 \implies -3v_1 - 4v_2 = 0
\]
Esto implica que \(v_1 = \frac{4}{3}v_2\).
2. **Módulo del vector:**
\[
|\vec{v}| = 20 \implies \sqrt{v_1^2 + v_2^2} = 20
\]
Sustituyendo \(v_1\):
\[
\sqrt{\left(\frac{4}{3}v_2\right)^2 + v_2^2} = 20 \implies \sqrt{\frac{16}{9}v_2^2 + v_2^2} = 20 \implies \sqrt{\frac{25}{9}v_2^2} = 20
\]
\[
\frac{5}{3}|v_2| = 20 \implies |v_2| = 12
\]
3. **Encontrar los vectores:**
- Si \(v_2 = 12\), entonces \(v_1 = 16\), obteniendo el vector \((16, -12)\).
- Si \(v_2 = -12\), entonces \(v_1 = -16\), obteniendo el vector \((-16, 12)\).
**Respuesta Final:**
Los vectores buscados son \((16,\ -12)\) y \((-16,\ 12)\).
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Para encontrar todos los vectores perpendiculares a \( \vec{u}= (-3,-4) \) que tengan un módulo de 20, primero debemos identificar que un vector perpendicular se puede obtener rotando el vector original 90 grados. Si tomamos \( \vec{u} \) y lo rotamos, los vectores perpendiculares serán \( \vec{v_1} = (4, -3) \) y \( \vec{v_2} = (-4, 3) \). Luego, para que los vectores tengan un módulo de 20, escalamos ambos vectores: \( \vec{v_1} = k(4, -3) \) y \( \vec{v_2} = k(-4, 3) \), donde \( |k| = \frac{20}{5} = 4 \). Esto nos da: 1. \( \vec{v_1} = (16, -12) \) 2. \( \vec{v_2} = (-16, 12) \) Así que los vectores perpendiculares a \( \vec{u} \) con módulo 20 son \( (16, -12) \) y \( (-16, 12) \).
