9. Fie \( P: V \rightarrow V \) un operator liniar cu proprietatea \( P^{2}=P \), unde \( V \) este un spaţiu cu produs scalar. Să se arate că \( P \) este autoadjunct dacă şi numai dacă \( \operatorname{Ker}(P) \) şi \( \operatorname{Im}(P) \) sunt subspatii ortogonale (caz în care \( P \) se numeşte proiector ortogonal). (OBSERVATIE: Un "proiector ortogonal" nu este operator ortogonal. Operatorul din exerciţiul 7 este un exemplu de proiector ortogonal.)

Pentru a demonstra afirmația, vom analiza cele două implicații: 1. **Dacă \( P \) este autoadjunct, atunci \( \operatorname{Ker}(P) \) și \( \operatorname{Im}(P) \) sunt subspații ortogonale.** 2. **Dacă \( \operatorname{Ker}(P) \) și \( \operatorname{Im}(P) \) sunt subspații ortogonale, atunci \( P \) este autoadjunct.** ### 1. \( P \) autoadjunct implică \( \operatorname{Ker}(P) \perp \operatorname{Im}(P) \) **Pasul 1:** Presupunem că \( P \) este autoadjunct, adică \( \langle P(v), w \rangle = \langle v, P(w) \rangle \) pentru orice \( v, w \in V \). **Pasul 2:** Fie \( v \in \operatorname{Ker}(P) \) și \( w \in \operatorname{Im}(P) \). Trebuie să demonstrăm că \( \langle v, w \rangle = 0 \). **Pasul 3:** Deoarece \( w \in \operatorname{Im}(P) \), există un vector \( u \in V \) astfel încât \( w = P(u) \). **Pasul 4:** Deoarece \( v \in \operatorname{Ker}(P) \), \( P(v) = 0 \). **Pasul 5:** Aplicăm proprietatea autoadjunctă: \[ \langle P(v), u \rangle = \langle v, P(u) \rangle \] \[ \langle 0, u \rangle = \langle v, w \rangle \] \[ 0 = \langle v, w \rangle \] Deci, \( \operatorname{Ker}(P) \perp \operatorname{Im}(P) \). ### 2. \( \operatorname{Ker}(P) \perp \operatorname{Im}(P) \) implică \( P \) autoadjunct **Pasul 1:** Presupunem că \( \operatorname{Ker}(P) \) și \( \operatorname{Im}(P) \) sunt subspații ortogonale, adică \( \operatorname{Ker}(P) \perp \operatorname{Im}(P) \). **Pasul 2:** Trebuie să demonstrăm că \( P \) este autoadjunct, adică \( \langle P(v), w \rangle = \langle v, P(w) \rangle \) pentru orice \( v, w \in V \). **Pasul 3:** Orice vector \( v \in V \) se poate scrie unic ca \( v = p + q \), unde \( p \in \operatorname{Im}(P) \) și \( q \in \operatorname{Ker}(P) \). **Pasul 4:** Deoarece \( P \) este idempotent (\( P^2 = P \)), rezultă că \( P(v) = P(p + q) = P(p) + P(q) = p + 0 = p \). **Pasul 5:** Calculăm produsul scalar \( \langle P(v), w \rangle \): \[ \langle p, w \rangle \] Deoarece \( p \in \operatorname{Im}(P) \) și \( w = p' + q' \) cu \( p' \in \operatorname{Im}(P) \) și \( q' \in \operatorname{Ker}(P) \), rezultă că: \[ \langle p, w \rangle = \langle p, p' \rangle + \langle p, q' \rangle = \langle p, p' \rangle + 0 = \langle p, p' \rangle \] **Pasul 6:** Calculăm produsul scalar \( \langle v, P(w) \rangle \): \[ \langle p + q, p' \rangle = \langle p, p' \rangle + \langle q, p' \rangle = \langle p, p' \rangle + 0 = \langle p, p' \rangle \] **Pasul 7:** Observăm că: \[ \langle P(v), w \rangle = \langle v, P(w) \rangle \] Astfel, \( P \) este autoadjunct. ### Concluzie Am demonstrat atât faptul că un operator liniar autoadjunct idempotent este un proiector ortogonal, cât și inversul. Prin urmare, \( P \) este autoadjunct dacă și numai dacă \( \operatorname{Ker}(P) \) și \( \operatorname{Im}(P) \) sunt subspații ortogonale.