3. Una urna contiene 5 bolas rojas y 8 verdes. Se extrae una bo:la y se reemplaza por dos del otro color. A continuación, se extrae una segunda bola. Se pide: a. Probabilidac de que la segunda bola sea verde. b. . Probabilidad de que las dos holas extraidas sean del mismo color. 4. En una ciudac, el $$ 40 \% $$ de la población tiene cabellos castaños, el $$ 25 \% $$ tene ojos castañosy el $$ 15 \% $$ tiene cabellos y ojos castaños. Se escoge una persona al azar: a. Si tiene los cabellos castaños, cuálesla prohahiliad dol

Question

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Vamos a resolver cada uno de los incisos planteados:

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### **Problema 3**

**Datos iniciales:**
- Bolas rojas: 5
- Bolas verdes: 8
- Total de bolas: 13

Después de extraer una bola y reemplazarla por dos de otro color, el total de bolas será siempre 14 (13 - 1 + 2).

#### **a. Probabilidad de que la segunda bola sea verde**

**Paso 1:** Determinamos las dos posibilidades al extraer la primera bola:

1. **Primera bola es roja:**
   - Probabilidad: $$ P(R) = \frac{5}{13} $$
   - Se reemplaza por dos bolas verdes.
   - Nueva composición: 4 rojas y 10 verdes.
   - Probabilidad de extraer una verde en el segundo intento: $$ P(V|R) = \frac{10}{14} = \frac{5}{7} $$

2. **Primera bola es verde:**
   - Probabilidad: $$ P(V) = \frac{8}{13} $$
   - Se reemplaza por dos bolas rojas.
   - Nueva composición: 7 rojas y 7 verdes.
   - Probabilidad de extraer una verde en el segundo intento: $$ P(V|V) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $$

**Paso 2:** Aplicamos la regla de la probabilidad total:

$$
P(\text{segunda verde}) = P(R) \times P(V|R) + P(V) \times P(V|V) = \frac{5}{13} \times \frac{5}{7} + \frac{8}{13} \times \frac{1}{2} = \frac{25}{91} + \frac{4}{13} = \frac{25}{91} + \frac{28}{91} = \frac{53}{91} \approx 0.5824 \text{ o } 58.24\%
$$

#### **b. Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color**

Debemos considerar dos casos: ambas rojas o ambas verdes.

1. **Ambas rojas:**
   - $$ P(\text{primera roja}) = \frac{5}{13} $$
   - Después de reemplazar, hay 4 rojas y 10 verdes.
   - $$ P(\text{segunda roja} | \text{primera roja}) = \frac{4}{14} = \frac{2}{7} $$
   - Contribución: $$ \frac{5}{13} \times \frac{2}{7} = \frac{10}{91} $$

2. **Ambas verdes:**
   - $$ P(\text{primera verde}) = \frac{8}{13} $$
   - Después de reemplazar, hay 7 rojas y 7 verdes.
   - $$ P(\text{segunda verde} | \text{primera verde}) = \frac{7}{14} = \frac{1}{2} $$
   - Contribución: $$ \frac{8}{13} \times \frac{1}{2} = \frac{4}{13} = \frac{28}{91} $$

**Total:**

$$
P(\text{mismo color}) = \frac{10}{91} + \frac{28}{91} = \frac{38}{91} \approx 0.4176 \text{ o } 41.76\%
$$

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### **Problema 4**

**Datos:**
- Población con cabellos castaños: $$ P(C) = 40\% = 0.40 $$
- Población con ojos castaños: $$ P(O) = 25\% = 0.25 $$
- Población con cabellos y ojos castaños: $$ P(C \cap O) = 15\% = 0.15 $$

#### **a. Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ojos castaños?**

Estamos buscando la probabilidad condicional $$ P(O | C) $$, es decir, la probabilidad de que una persona tenga ojos castaños dado que ya se sabe que tiene cabellos castaños.

La fórmula para la probabilidad condicional es:

$$
P(O | C) = \frac{P(C \cap O)}{P(C)}
$$

Sustituyendo los valores:

$$
P(O | C) = \frac{0.15}{0.40} = 0.375 \text{ o } 37.5\%
$$

**Interpretación:** Si sabemos que una persona tiene los cabellos castaños, la probabilidad de que también tenga ojos castaños es del 37.5%.

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**Respuestas Simplificadas:** --- ### **Problema 3** **a. Probabilidad de que la segunda bola sea verde:** - **Respuesta:** Aproximadamente 58.24% **b. Probabilidad de que las dos bolas extraídas sean del mismo color:** - **Respuesta:** Aproximadamente 41.76% --- ### **Problema 4** **a. Si tiene los cabellos castaños, ¿cuál es la probabilidad de que tenga ojos castaños?** - **Respuesta:** 37.5% ---

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