232. a) \( y=\frac{x-1}{x+1} \);

**232. a) \( y = \frac{x - 1}{x + 1} \)** Bu fonksiyonun çeşitli özelliklerini inceleyelim: 1. **Tanım Kümesi (Domain):** - Fonksiyonun paydası sıfır olmamalıdır. - \( x + 1 \neq 0 \) olduğu için \( x \neq -1 \). - **Tanım Kümesi:** \( \mathbb{R} \setminus \{-1\} \) 2. **Dikey Asimptot:** - Paydanın sıfır olduğu noktada dikey asimptot oluşur. - \( x = -1 \) noktasında dikey asimptot vardır. - **Dikey Asimptot:** \( x = -1 \) 3. **Yatay Asimptot:** - Dereceleri karşılaştıralım: - Payın ve paydanın en yüksek dereceli terimleri 1. - \( \lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{x + 1} = 1 \) - **Yatay Asimptot:** \( y = 1 \) 4. **Y-ekseni Kesişimi:** - \( x = 0 \) için \( y = \frac{0 - 1}{0 + 1} = -1 \). - **Y-ekseni Kesişimi:** \( (0, -1) \) 5. **X-ekseni Kesişimi:** - \( y = 0 \) için \( \frac{x - 1}{x + 1} = 0 \) olduğunda, \( x - 1 = 0 \) yani \( x = 1 \). - **X-ekseni Kesişimi:** \( (1, 0) \) 6. **Fonksiyonun Grafik Analizi:** - **Pozitiflik:** - \( \frac{x - 1}{x + 1} > 0 \) için \( x > 1 \) veya \( x < -1 \). - **Negatiflik:** - \( -1 < x < 1 \) aralığında negatiftir. - **Asimptotlara Yaklaşma:** - \( x \) pozitif veya negatif sonsuza giderken \( y \) yatay asimptot olan \( y = 1 \)'e yaklaşır. - \( x \) değeri \( -1 \)'e yaklaştıkça \( y \) değeri artar veya azalır (işaretine bağlı olarak \(\pm \infty\)). 7. **Türev ve Ek Fonksiyonel Özellikler (Opsiyonel):** - Fonksiyonun eğimini incelemek için türev alınabilir. - \( y' = \frac{(1)(x + 1) - (x - 1)(1)}{(x + 1)^2} = \frac{x + 1 - x + 1}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2} \) - Türev her zaman pozitiftir, bu da fonksiyonun \( x \neq -1 \) olduğu her alanda arttığını gösterir. **Sonuç:** Fonksiyon \( y = \frac{x - 1}{x + 1} \), \( x = -1 \) noktasında dikey asimptot, \( y = 1 \) doğrusu üzerinde yatay asimptot, \( (0, -1) \) noktasında y-ekseni kesişimi ve \( (1, 0) \) noktasında x-ekseni kesişimine sahiptir. Genel olarak fonksiyon, belirlenen tanım kümesi içinde sürekli ve artan bir yapıya sahiptir.