7. Fie $$ P: \mathbf{R}^{3} \rightarrow \mathbf{R}^{3}, P(x)=\left(\frac{1}{2} x_{1}+\frac{1}{2} x_{2}, \frac{1}{2} x_{1}+\frac{1}{2} x_{2}, x_{3}\right) $$ pentru orice $$ x=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) \in \mathbf{R}^{3} $$. Să se verifice că $$ P $$ este operator autoadjunct şi nu este operator ortogonal (pe $$ \mathbf{R}^{3} $$ se consideră produsul scalar uzual).

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Pentru a verifica proprietățile operatorului $$ P $$ definit pe $$ \mathbf{R}^{3} $$ prin
$$
P(x) = \left(\frac{1}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{2}, \frac{1}{2} x_{1} + \frac{1}{2} x_{2}, x_{3}\right),
$$
vom analiza matricea asociată lui $$ P $$ și proprietățile acesteia.

### 1. Reprezentarea matriceială a operatorului $$ P $$

Operatorul liniar $$ P $$ poate fi reprezentat prin matricea $$ A $$ astfel încât
$$
A = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{pmatrix}.
$$
Această matrice este construită din coeficienții care multiplică componentele vectorului $$ x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}) $$.

### 2. Verificarea că $$ P $$ este operator autoadjunct

Un operator este **autoadjunct** dacă matricea sa este simetrică, adică $$ A = A^{T} $$.

Calculăm transpusul matricei $$ A $$:
$$
A^{T} = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{pmatrix}.
$$
Observăm că $$ A^{T} = A $$, deci matricea este simetrică. Astfel, operatorul $$ P $$ este autoadjunct.

### 3. Verificarea că $$ P $$ nu este operator ortogonal

Un operator este **ortogonal** dacă matricea sa satisface relația $$ A^{T} A = I $$, unde $$ I $$ este matricea identitate.

Calculăm produsul $$ A^{T} A $$:
$$
A^{T} A = \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \
0 & 0 & 1 \
\end{pmatrix}.
$$
Observăm că $$ A^{T} A = A $$, iar aceasta nu este matricea identitate $$ I $$ (de exemplu, elementul $$ (1,1) $$ este $$ \frac{1}{2} $$ și nu 1). Prin urmare, $$ A^{T} A \neq I $$, ceea ce indică faptul că operatorul $$ P $$ nu este ortogonal.

### Concluzie

Am demonstrat că operatorul $$ P $$ este autoadjunct deoarece matricea sa este simetrică. De asemenea, am arătat că $$ P $$ nu este ortogonal deoarece produsul $$ A^{T} A $$ nu este matricea identitate. Astfel, $$ P $$ este un operator autoadjunct dar nu ortogonal pe $$ \mathbf{R}^{3} $$.
Operatorul $$ P $$ este autoadjunct deoarece matricea sa este simetrică. Cu toate acestea, nu este ortogonal, deoarece produsul sa cu transpusul nu este matricea identitate.

Fie pentru orice .
Să se verifice că este operator autoadjunct şi nu este operator ortogonal (pe se consideră
produsul scalar uzual).

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Other Questions

Fie pentru orice . Să se verifice că este operator autoadjunct şi nu este operator ortogonal (pe se consideră produsul scalar uzual).