PROBLEME 1 Partie A Soit g la fonction numérique définie sur $$ ] 0 ;+\infty\left[\right. $$ par $$ g(x)=x(1+\ln x)^{2}-1 $$ 1. On admettra que g est dérivable sur $$ ] 0 ;+\infty[ $$ a) Calculer $$ g^{\prime}(x) $$ pour tout $$ \left.x \in\right] 0 ;+\infty[ $$ b) Vérifier que pour tout $$ x \in] 0 ;+\infty\left[g^{\prime}(x)=(1+\ln x)(3+\ln x)\right. $$ c) Etudier le signe de $$ g^{\prime}(x) $$ suivant lês valeurs de $$ x $$ et en déduirele sens de variation de g.

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**PROBLÈME 1 - Partie A** Soit $$ g $$ la fonction définie sur $$ ]0 ; +\infty[ $$ par : $$ g(x) = x(1 + \ln x)^2 - 1 $$ Nous allons traiter les différentes questions posées. --- ### 1. a) Calculer $$ g^{\prime}(x) $$ pour tout $$ x \in ]0 ; +\infty[ $$ Pour calculer la dérivée de $$ g(x) $$, nous appliquons les règles de dérivation des fonctions composées et des produits. $$ g(x) = x(1 + \ln x)^2 - 1 $$ Calculons la dérivée de chaque terme séparément. 1. **Dérivée de $$ x(1 + \ln x)^2 $$ :** Utilisons la règle du produit : $$ \frac{d}{dx}\left[ x(1 + \ln x)^2 \right] = \frac{d}{dx}(x) \cdot (1 + \ln x)^2 + x \cdot \frac{d}{dx}\left[ (1 + \ln x)^2 \right] $$ Calculons chaque partie : - $$ \frac{d}{dx}(x) = 1 $$ - $$ \frac{d}{dx}\left[ (1 + \ln x)^2 \right] = 2(1 + \ln x) \cdot \frac{d}{dx}(\ln x) = 2(1 + \ln x) \cdot \frac{1}{x} $$ Ainsi : $$ \frac{d}{dx}\left[ x(1 + \ln x)^2 \right] = 1 \cdot (1 + \ln x)^2 + x \cdot \left( 2(1 + \ln x) \cdot \frac{1}{x} \right) $$ $$ = (1 + \ln x)^2 + 2(1 + \ln x) $$ 2. **Dérivée de $$-1$$ :** $$ \frac{d}{dx}(-1) = 0 $$ Ainsi, la dérivée totale $$ g^{\prime}(x) $$ est : $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)^2 + 2(1 + \ln x) $$ --- ### 1. b) Vérifier que pour tout $$ x \in ]0 ; +\infty[ $$, $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ Simplifions l'expression obtenue pour $$ g^{\prime}(x) $$ : $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)^2 + 2(1 + \ln x) $$ $$ = (1 + \ln x)(1 + \ln x) + 2(1 + \ln x) $$ $$ = (1 + \ln x)\left[ (1 + \ln x) + 2 \right] $$ $$ = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ Ainsi, nous avons bien : $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ Ce qui vérifie l'égalité demandée. --- ### 1. c) Étudier le signe de $$ g^{\prime}(x) $$ selon les valeurs de $$ x $$ et en déduire le sens de variation de $$ g $$ Pour étudier le signe de $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$, analysons les signes des facteurs $$ (1 + \ln x) $$ et $$ (3 + \ln x) $$. **Étape 1 : Trouver les valeurs de $$ x $$ où chaque facteur s'annule.** 1. $$ 1 + \ln x = 0 $$ $$ \ln x = -1 $$ $$ x = e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0,3679 $$ 2. $$ 3 + \ln x = 0 $$ $$ \ln x = -3 $$ $$ x = e^{-3} = \frac{1}{e^{3}} \approx 0,0498 $$ **Étape 2 : Déterminer le signe de chaque facteur dans les intervalles déterminés par ces points.** Les points critiques sont $$ x = \frac{1}{e^{3}} $$ et $$ x = \frac{1}{e} $$. Nous avons donc les intervalles suivants : 1. $$ 0 < x < \frac{1}{e^{3}} $$ 2. $$ \frac{1}{e^{3}} < x < \frac{1}{e} $$ 3. $$ x > \frac{1}{e} $$ Analysons les signes : - **Pour $$ 0 < x < \frac{1}{e^{3}} $$ :** - $$ \ln x < -3 $$ donc $$ 1 + \ln x < 1 - 3 = -2 < 0 $$ - $$ 3 + \ln x < 3 - 3 = 0 $$ - **Produit :** $$ (-) \times (-) = + $$ - **Pour $$ \frac{1}{e^{3}} < x < \frac{1}{e} $$ :** - $$ -3 < \ln x < -1 $$ - $$ 1 + \ln x < 0 $$ - $$ 3 + \ln x < 3 -1 = 2 > 0 $$ (car $$ \ln x > -3 $$, donc $$ 3 + \ln x > 0 $$) - **Produit :** $$ (-) \times (+) = - $$ - **Pour $$ x > \frac{1}{e} $$ :** - $$ \ln x > -1 $$ - $$ 1 + \ln x > 0 $$ - $$ 3 + \ln x > 0 $$ - **Produit :** $$ (+) \times (+) = + $$ **Résumé du signe de $$ g^{\prime}(x) $$ :** - **$$ 0 < x < \frac{1}{e^{3}} $$ :** $$ g^{\prime}(x) > 0 $$ - **$$ \frac{1}{e^{3}} < x < \frac{1}{e} $$ :** $$ g^{\prime}(x) < 0 $$ - **$$ x > \frac{1}{e} $$ :** $$ g^{\prime}(x) > 0 $$ **Étape 3 : Déduire le sens de variation de $$ g $$.** - **Lorsque $$ g^{\prime}(x) > 0 $$ :** $$ g $$ est **croissante**. - **Lorsque $$ g^{\prime}(x) < 0 $$ :** $$ g $$ est **décroissante**. **Conclusion sur le sens de variation :** - **Pour $$ 0 < x < \frac{1}{e^{3}} $$ :** $$ g $$ est croissante. - **Pour $$ \frac{1}{e^{3}} < x < \frac{1}{e} $$ :** $$ g $$ est décroissante. - **Pour $$ x > \frac{1}{e} $$ :** $$ g $$ est croissante. --- **PROBLÈME 1 - Partie A** Soit $$ g $$ la fonction définie sur $$ ]0 ; +\infty[ $$ par : $$ g(x) = x(1 + \ln x)^2 - 1 $$ 1. **a) Calculer $$ g^{\prime}(x) $$ :** $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ 2. **b) Vérification :** $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ 3. **c) Étude du signe de $$ g^{\prime}(x) $$ et sens de variation de $$ g $$ :** - **Pour $$ 0 < x < \frac{1}{e^{3}} $$ :** $$ g $$ est croissante. - **Pour $$ \frac{1}{e^{3}} < x < \frac{1}{e} $$ :** $$ g $$ est décroissante. - **Pour $$ x > \frac{1}{e} $$ :** $$ g $$ est croissante. **Résumé :** - $$ g^{\prime}(x) = (1 + \ln x)(3 + \ln x) $$ - $$ g $$ est croissante sur $$ ]0 ; \frac{1}{e^{3}}[ $$ et $$ ]\frac{1}{e} ; +\infty[ $$ - $$ g $$ est décroissante sur $$ ]\frac{1}{e^{3}} ; \frac{1}{e}[ $$

PROBLEME 1
Partie A
Soit g la fonction numérique définie sur par

On admettra que g est dérivable sur
a) Calculer pour tout
b) Vérifier que pour tout
c) Etudier le signe de suivant lês valeurs de et en déduirele sens de
variation de g.

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PROBLEME 1 Partie A Soit g la fonction numérique définie sur par On admettra que g est dérivable sur a) Calculer pour tout b) Vérifier que pour tout c) Etudier le signe de suivant lês valeurs de et en déduirele sens de variation de g.