4. A efectos de estimar la proporción poblacional de turistas que realizan sus reservas y contrataciones a través de internet, se construirá un intervalo con un nivel de confianza_ - $$ a= $$ 0,95 y error de estimación ( $$ =0,07 $$. - Utilizando el criterio conservador, determine el tamaño de la muestra a seleccionarse. 5. Responda brevemente: a) ¿Para qué se utiliza el coeficiente de contingencia de Pearson? b) ¿Entre cuáles medidas de tendencia no central se encuentra el $$ 50 \% $$ central de las observaciones? c) ¿Cuáles son las propiedades de la función de densidad?

Question

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4. Para determinar el tamaño de la muestra necesaria para estimar la proporción poblacional de turistas que realizan sus reservas y contrataciones a través de internet, utilizaremos la fórmula para el tamaño de la muestra en estimaciones de proporciones:

$$
n = \left( \frac{Z^2 \cdot p \cdot (1 - p)}{E^2} \right)
$$

Donde:
- $$ n $$ es el tamaño de la muestra.
- $$ Z $$ es el valor crítico de la distribución normal estándar para el nivel de confianza deseado.
- $$ p $$ es la proporción estimada (usaremos $$ p = 0.5 $$ para el criterio conservador).
- $$ E $$ es el error de estimación.

Dado que el nivel de confianza es $$ 0.95 $$, el valor crítico $$ Z $$ correspondiente es aproximadamente $$ 1.96 $$.

Sustituyendo los valores:

- $$ p = 0.5 $$
- $$ E = 0.07 $$

La fórmula queda:

$$
n = \left( \frac{(1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot (1 - 0.5)}{(0.07)^2} \right)
$$

Calculamos:

$$
n = \left( \frac{(1.96)^2 \cdot 0.5 \cdot 0.5}{(0.07)^2} \right) = \left( \frac{3.8416 \cdot 0.25}{0.0049} \right) \approx \left( \frac{0.9604}{0.0049} \right) \approx 195.3
$$

Dado que el tamaño de la muestra debe ser un número entero, redondeamos hacia arriba:

$$
n \approx 196
$$

Por lo tanto, el tamaño de la muestra a seleccionarse es de **196** turistas.

5. Respuestas breves:

a) **¿Para qué se utiliza el coeficiente de contingencia de Pearson?**
El coeficiente de contingencia de Pearson se utiliza para medir la asociación entre dos variables categóricas en una tabla de contingencia. Indica la fuerza de la relación entre las variables, permitiendo evaluar si existe una dependencia o independencia entre ellas.

b) **¿Entre cuáles medidas de tendencia no central se encuentra el $$ 50 \% $$ central de las observaciones?**
El $$ 50 \% $$ central de las observaciones se encuentra entre la mediana y el rango intercuartílico (IQR), que es la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1). Es decir, el $$ 50 \% $$ central está entre el primer cuartil (Q1) y el tercer cuartil (Q3).

c) **¿Cuáles son las propiedades de la función de densidad?**
Las propiedades de la función de densidad son:
1. La función de densidad $$ f(x) $$ es siempre no negativa: $$ f(x) \geq 0 $$ para todo $$ x $$.
2. La integral de la función de densidad sobre todo el espacio es igual a 1: $$ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1 $$.
3. La probabilidad de que una variable aleatoria continua caiga dentro de un intervalo $$ [a, b] $$ se calcula como $$ P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx $$.
4. El tamaño de la muestra a seleccionarse es de 196 turistas. 5. a) El coeficiente de contingencia de Pearson se utiliza para medir la asociación entre dos variables categóricas. b) El $$ 50 \% $$ central de las observaciones está entre el primer y tercer cuartil. c) Las propiedades de la función de densidad incluyen ser no negativa, su integral sobre todo el espacio es 1, y se utiliza para calcular probabilidades en intervalos.

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