3. Selesaikan soal tentang limit barisan berikut: $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n}{n+3} $$ 4. Periksa kekonvergenan deret $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{p k} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Tentu, berikut adalah penyelesaian untuk soal nomor 3 dan 4:

---

**3. Menentukan Limit Barisan**

$$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n+3} $$

**Penyelesaian:**

Untuk menentukan limit saat $$ n $$ mendekati tak terhingga, kita dapat membagi pembilang dan penyebut dengan $$ n $$:

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n+3} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n/n}{(n+3)/n} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{1 + \frac{3}{n}}
$$

Saat $$ n $$ mendekati tak terhingga, $$ \frac{3}{n} $$ akan mendekati 0. Sehingga:

$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3}{1 + 0} = 3
$$

**Jawaban:**
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n+3} = 3
$$

---

**4. Memeriksa Kekonvergenan Deret**

$$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{p^k} $$

*(Asumsi bahwa soal dimaksudkan sebagai $$ \frac{k!}{p^k} $$, di mana $$ p $$ adalah suatu bilangan konstan)*

**Penyelesaian:**

Kita akan menggunakan **Uji Rasio** untuk menentukan kekonvergenan deret ini.

Misalkan $$ a_k = \frac{k!}{p^k} $$.

Kita hitung:

$$
\lim_{k \to \infty} \left| \frac{a_{k+1}}{a_k} \right| = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)!}{p^{k+1}} \cdot \frac{p^k}{k!} = \lim_{k \to \infty} \frac{(k+1)}{p} = \infty \quad \text{(karena } k \to \infty \text{)}
$$

Karena limit rasio tersebut lebih besar dari 1 (bahkan tak hingga), maka menurut **Uji Rasio**, deret tersebut **divergen**.

**Jawaban:**
Deret $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{p^k} $$ **divergen**.

---

Jika terdapat kesalahan penulisan pada soal nomor 4 (misalnya $$ p k $$ seharusnya $$ p^k $$), penjelasan di atas tetap berlaku dan hasilnya adalah deret tersebut divergen.
**3. Limit Barisan:** $$ \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3n}{n+3} = 3 $$ **4. Kekonvergenan Deret:** Deret $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{p^k} $$ divergen.

3. Selesaikan soal tentang limit barisan berikut: \( \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{3 n}{n+3} \) 4. Periksa kekonvergenan deret \( \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k!}{p k} \)

Real Tutor Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Calculus Questions