Bài tập 2.3. Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đư̛ờg \( y=2 x-x^{2} \) vày \( =0 \) \( \begin{array}{ll}\text { a) quanh trục Ox một vòng } & \text { b) quanh trục Oy một vòng. }\end{array} \)

**Bài tập 2.3.** Tính thể tích khối tròn xoay tạo nên khi quay hình giới hạn bởi các đường \( y = 2x - x^{2} \) và \( y = 0 \): \[ \begin{array}{ll} \text{a) Quanh trục Ox một vòng} & \\ \text{b) Quanh trục Oy một vòng} & \end{array} \] --- ### **Phần a) Quanh trục Ox một vòng** **Bước 1:** Xác định các điểm giao nhau của các đường \( y = 2x - x^{2} \) và \( y = 0 \). Giải phương trình \( 2x - x^{2} = 0 \): \[ x(2 - x) = 0 \Rightarrow x = 0 \text{ hoặc } x = 2 \] Vậy khoảng giới hạn là từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). **Bước 2:** Sử dụng phương pháp đĩa (disk method) để tính thể tích khi quay quanh trục Ox. Công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [y(x)]^{2} \, dx \] Thay vào \( y = 2x - x^{2} \): \[ V = \pi \int_{0}^{2} (2x - x^{2})^{2} \, dx \] **Bước 3:** Tính tích phân: \[ (2x - x^{2})^{2} = 4x^{2} - 4x^{3} + x^{4} \] Vậy: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (4x^{2} - 4x^{3} + x^{4}) \, dx \] \[ V = \pi \left[ \frac{4x^{3}}{3} - \frac{4x^{4}}{4} + \frac{x^{5}}{5} \right]_{0}^{2} \] Tính tại giới hạn: \[ V = \pi \left( \frac{4(8)}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right) = \pi \left( \frac{32}{3} - 16 + \frac{32}{5} \right) \] Chuyển về mẫu số chung 15: \[ V = \pi \left( \frac{160}{15} - \frac{240}{15} + \frac{96}{15} \right) = \pi \left( \frac{16}{15} \right) = \frac{16}{15}\pi \] **Kết quả:** \[ V = \frac{16}{15}\pi \text{ đơn vị khối} \] --- ### **Phần b) Quanh trục Oy một vòng** **Bước 1:** Sử dụng phương pháp vỏ trụ (cylindrical shells). Công thức: \[ V = 2\pi \int_{a}^{b} x \cdot y(x) \, dx \] Thay vào \( y = 2x - x^{2} \): \[ V = 2\pi \int_{0}^{2} x(2x - x^{2}) \, dx = 2\pi \int_{0}^{2} (2x^{2} - x^{3}) \, dx \] **Bước 2:** Tính tích phân: \[ V = 2\pi \left[ \frac{2x^{3}}{3} - \frac{x^{4}}{4} \right]_{0}^{2} \] Tính tại giới hạn: \[ V = 2\pi \left( \frac{2(8)}{3} - \frac{16}{4} \right) = 2\pi \left( \frac{16}{3} - 4 \right) = 2\pi \left( \frac{16 - 12}{3} \right) = 2\pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{8}{3}\pi \] **Kết quả:** \[ V = \frac{8}{3}\pi \text{ đơn vị khối} \] --- **Tóm lại:** - **a)** Thể tích khi quay quanh trục Ox là \( \dfrac{16}{15}\pi \) đơn vị khối. - **b)** Thể tích khi quay quanh trục Oy là \( \dfrac{8}{3}\pi \) đơn vị khối.