Qual é a definição da função arctangente?

A **função arctangente**, denotada por **arctan(x)** ou **tan⁻¹(x)**, é a função inversa da função tangente quando restrita ao intervalo apropriado para garantir que seja de fato invertível. ### Definição Matemática Para todo número real **x**, a função arctangente retorna o ângulo **θ** (em radianos) tal que: \[ \theta = \arctan(x) \] onde: \[ \tan(\theta) = x \] ### Intervalo de Definição A função arctangente está definida para todos os números reais **x** (\(-\infty < x < \infty\)). O intervalo de valores possíveis para **θ** (a imagem da função) é: \[ -\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2} \] Isso significa que a arctangente mapeia qualquer número real para um ângulo cujo seno e cosseno são positivos ou negativos conforme necessário, mas sempre restrito ao intervalo mencionado para garantir a unicidade da função inversa. ### Propriedades da Arctangente 1. **Monotonicidade**: A função arctangente é estritamente crescente em todo o seu domínio. 2. **Assíntotas**: - Conforme \( x \to \infty \), \( \arctan(x) \to \frac{\pi}{2} \). - Conforme \( x \to -\infty \), \( \arctan(x) \to -\frac{\pi}{2} \). 3. **Derivada**: \[ \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1 + x^2} \] 4. **Integração**: \[ \int \arctan(x) \, dx = x \arctan(x) - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C \] onde **C** é a constante de integração. ### Aplicações A função arctangente é amplamente utilizada em diversas áreas, incluindo: - **Geometria e Trigonometria**: Para determinar ângulos a partir das razões dos lados de um triângulo. - **Cálculo**: Em integrais envolvendo frações quadráticas e em séries de Taylor. - **Engenharia e Física**: Em análise de ondas, sinais e em sistemas de controle. ### Exemplo de Uso Se \( \tan(\theta) = 1 \), então: \[ \theta = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \text{ radianos} \] Este exemplo demonstra que a arctangente retorna o ângulo cuja tangente é o número dado.