Si fissi un riferimento \( R C(O x y z) \) dello spazio, con base ortonormale \( \mathcal{B}=\{\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\} \). Il piano passante per \( A(1,0,-1) \), parallelo al vettore \( \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k} \), e perpendicolare al piano \( \alpha: x+y-2 z+4= \) 0 ammette equazione: A. \( 2 x+y+z-1=0 \) B. \( x+y+z=0 \) C. \( x-2 y+z=0 \) D. \( x+2 y+2 z+1=0 \) A

Para resolver el problema, primero identificamos las condiciones dadas: 1. Un punto \( A(1,0,-1) \) por el que pasa el plano. 2. Un vector director del plano que es \( \vec{d} = \vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k} \). 3. El plano es perpendicular al plano \( \alpha: x + y - 2z + 4 = 0 \). ### Paso 1: Determinar el vector normal del plano \( \alpha \) La ecuación del plano \( \alpha \) se puede escribir en la forma general \( Ax + By + Cz + D = 0 \), donde \( A = 1 \), \( B = 1 \), \( C = -2 \) y \( D = 4 \). El vector normal \( \vec{n_\alpha} \) del plano \( \alpha \) es: \[ \vec{n_\alpha} = (1, 1, -2) \] ### Paso 2: Encontrar el vector normal del nuevo plano Dado que el nuevo plano es perpendicular al plano \( \alpha \), su vector normal \( \vec{n} \) debe ser ortogonal a \( \vec{n_\alpha} \). Además, el plano es paralelo al vector \( \vec{d} \). Por lo tanto, el vector normal del nuevo plano puede ser encontrado usando el producto cruzado entre \( \vec{d} \) y \( \vec{n_\alpha} \). Calculamos el producto cruzado: \[ \vec{d} = (1, -2, 1) \] \[ \vec{n_\alpha} = (1, 1, -2) \] ### Paso 3: Calcular el producto cruzado El producto cruzado \( \vec{n} = \vec{d} \times \vec{n_\alpha} \) se calcula como sigue: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix} \] Calculamos el determinante: \[ \vec{n} = \vec{i}((-2)(-2) - (1)(1)) - \vec{j}((1)(-2) - (1)(1)) + \vec{k}((1)(1) - (-2)(1)) \] \[ = \vec{i}(4 - 1) - \vec{j}(-2 - 1) + \vec{k}(1 + 2) \] \[ = 3\vec{i} + 3\vec{j} + 3\vec{k} \] \[ = (3, 3, 3) \] ### Paso 4: Ecuación del plano La ecuación del plano que pasa por el punto \( A(1,0,-1) \) y tiene el vector normal \( \vec{n} = (3, 3, 3) \) se puede escribir como: \[ 3(x - 1) + 3(y - 0) + 3(z + 1) = 0 \] Simplificando: \[ 3x + 3y + 3z - 3 + 3 = 0 \] \[ 3x + 3y + 3z = 0 \] \[ x + y + z = 0 \] ### Paso 5: Seleccionar la respuesta correcta La ecuación que hemos encontrado es \( x + y + z = 0 \), que corresponde a la opción: **B. \( x + y + z = 0 \)** Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción B.