(3) $$ f(x)=\frac{4 x-6}{x^{2}+6} $$; Calcular $$ y^{\prime \prime} $$

Question

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Para calcular la segunda derivada $$ y'' $$ de la función $$ f(x) = \frac{4x - 6}{x^2 + 6} $$, seguiremos los siguientes pasos utilizando las reglas de derivación:

### 1. Primera derivada $$ y' $$:

Aplicamos la regla del cociente:

$$
f'(x) = \frac{(4)(x^2 + 6) - (4x - 6)(2x)}{(x^2 + 6)^2}
$$

Simplificamos el numerador:

$$
f'(x) = \frac{4x^2 + 24 - (8x^2 - 12x)}{(x^2 + 6)^2} = \frac{-4x^2 + 12x + 24}{(x^2 + 6)^2}
$$

### 2. Segunda derivada $$ y'' $$:

Derivamos nuevamente usando la regla del cociente para $$ f'(x) $$:

$$
f''(x) = \frac{(-8x + 12)(x^2 + 6)^2 - (-4x^2 + 12x + 24) \cdot 2(x^2 + 6)(2x)}{(x^2 + 6)^4}
$$

Simplificando paso a paso:

$$
f''(x) = \frac{(-8x + 12)(x^2 + 6) - (-4x^2 + 12x + 24)(4x)}{(x^2 + 6)^3}
$$

Expandiendo y combinando términos:

$$
f''(x) = \frac{8x^3 - 36x^2 - 144x + 72}{(x^2 + 6)^3}
$$

### Resultado Final:

La segunda derivada de la función es:

$$
y'' = \frac{8x^3 - 36x^2 - 144x + 72}{(x^2 + 6)^3}
$$
La segunda derivada $$ y'' $$ de la función $$ f(x) = \frac{4x - 6}{x^2 + 6} $$ es: $$ y'' = \frac{8x^3 - 36x^2 - 144x + 72}{(x^2 + 6)^3} $$

(3) \( f(x)=\frac{4 x-6}{x^{2}+6} \); Calcular \( y^{\prime \prime} \)

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