$$ 7 ^ { - | x - 3 | } \cdot \log _ { 2 } ( 6 x - x ^ { 2 } - 7 ) \geq 1 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Решим неравенство:

$$
7^{-|x - 3|} \cdot \log_{2}(6x - x^{2} - 7) \geq 1
$$

**Шаг 1: Определение области определения**

Для начала определим область определения функции. Логарифм определен, когда выражение внутри него положительно:

$$
6x - x^{2} - 7 > 0 \
\Rightarrow -x^{2} + 6x - 7 > 0 \
\Rightarrow x^{2} - 6x + 7 < 0
$$

Решим квадратное неравенство:

$$
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}
$$

Таким образом, область определения: $$ x \in (3 - \sqrt{2},\, 3 + \sqrt{2}) $$.

**Шаг 2: Решение неравенства**

Неравенство можно переписать как:

$$
\log_{2}(6x - x^{2} - 7) \geq 7^{|x - 3|}
$$

Рассмотрим функцию слева и справа от неравенства:

- Функция $$ \log_{2}(6x - x^{2} - 7) $$ достигает максимального значения 1 при $$ x = 3 $$.
- Функция $$ 7^{|x - 3|} $$ равна 1 при $$ x = 3 $$ и возрастает при удалении $$ x $$ от 3.

Таким образом, единственной точкой, где неравенство выполняется, является $$ x = 3 $$.

**Ответ:**

Решением неравенства является $$ x = 3 $$.
Решением неравенства $$ 7^{-|x - 3|} \cdot \log_{2}(6x - x^{2} - 7) \geq 1 $$ является $$ x = 3 $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Algebra Questions