Beregn \( \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos x d x \)

For å beregne \( I = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} x \cos x \, dx \), kan vi bruke delvis integrasjon. La oss sette \( u = x \) og \( dv = \cos x \, dx \). Da får vi \( du = dx \) og \( v = \sin x \). Ved å bruke formelen for delvis integrasjon, \( \int u \, dv = uv - \int v \, du \), får vi: \[ I = \left[ x \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx \] Nå evaluerer vi den første termen: \[ \left[ x \sin x \right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4} \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) - 0 = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\pi \sqrt{2}}{8} \] Nå må vi beregne den andre integralen: \[ \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin x \, dx = \left[-\cos x\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos(0) = -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1 = 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \] Setter nå alt sammen: \[ I = \frac{\pi \sqrt{2}}{8} - \left( 1 - \frac{\sqrt{2}}{2} \right) = \frac{\pi \sqrt{2}}{8} - 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} \] For å kombinere leddene, kan vi uttrykke \( \frac{\sqrt{2}}{2} \) som \( \frac{4\sqrt{2}}{8} \): \[ I = \frac{\pi \sqrt{2}}{8} - 1 + \frac{4\sqrt{2}}{8} = \frac{(\pi + 4)\sqrt{2}}{8} - 1 \] Dermed får vi svaret: \[ I = \frac{(\pi + 4)\sqrt{2}}{8} - 1 \]