4) $$ f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} $$ en $$ [3,5] $$ valor promedio $$ =\frac{1}{5-3} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} d x $$

Question

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Para encontrar el valor promedio de la función $$ f(x) = \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} $$ en el intervalo $$[3, 5]$$, seguimos los siguientes pasos:

**1. Fórmula del Valor Promedio:**
$$
\text{Valor promedio} = \frac{1}{5 - 3} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = \frac{1}{2} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = 10 \int_{3}^{5} \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx
$$

**2. Resolución de la Integral:**
$$
\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx
$$
Utilizamos una sustitución trigonométrica. Sea $$ x = 3 \sec \theta $$, lo que implica que $$ dx = 3 \sec \theta \tan \theta \, d\theta $$ y $$ \sqrt{x^{2} - 9} = 3 \tan \theta $$.

Sustituyendo:
$$
\int \frac{3 \tan \theta}{3 \sec \theta} \cdot 3 \sec \theta \tan \theta \, d\theta = 3 \int \tan^2 \theta \, d\theta = 3 \int (\sec^2 \theta - 1) \, d\theta = 3 \tan \theta - 3 \theta + C
$$

Volviendo a la variable original $$ x $$:
$$
3 \tan \theta = \sqrt{x^{2} - 9} \quad \text{y} \quad \theta = \arcsec\left(\frac{x}{3}\right)
$$
Por lo tanto:
$$
\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} \, dx = \sqrt{x^{2} - 9} - 3 \arcsec\left(\frac{x}{3}\right) + C
$$

**3. Evaluación de la Integral Definida:**
$$
10 \left[ \sqrt{x^{2} - 9} - 3 \arcsec\left(\frac{x}{3}\right) \right]_{3}^{5}
$$
Evaluando en los límites:
- Para $$ x = 5 $$:
  $$
  \sqrt{25 - 9} = 4 \quad \text{y} \quad \arcsec\left(\frac{5}{3}\right) \approx 0.9273 \text{ radianes}
  $$
- Para $$ x = 3 $$:
  $$
  \sqrt{9 - 9} = 0 \quad \text{y} \quad \arcsec(1) = 0
  $$
Entonces:
$$
10 \left[ 4 - 3 \times 0.9273 - (0 - 0) \right] = 10 \left[ 4 - 2.7819 \right] = 10 \times 1.2181 \approx 12.18
$$

**Respuesta Final:**
El valor promedio de la función en el intervalo $$[3, 5]$$ es aproximadamente **12.18**.
El valor promedio de la función $$ f(x) = \frac{20 \sqrt{x^{2} - 9}}{x} $$ en el intervalo $$[3, 5]$$ es aproximadamente **12.18**.

4) \( f(x)=\frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} \) en \( [3,5] \) valor promedio \( =\frac{1}{5-3} \int_{3}^{5} \frac{20 \sqrt{x^{2}-9}}{x} d x \)

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