38 Pronta per un altro tiro Dopo il tiro, la tua palla da bowling torna indietro, rotolando senza scivolare, lungo la guida, con una velocità lineare di \( 2,85 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \), come mostrato in figura. Per raggiungere la sua posizione finale, la palla rotola su una rampa che la fa salire di \( 0,53 \mathrm{~m} \). Qual è la velocità della palla quando raggiunge la cima della rampa?

Per determinare la velocità della palla da bowling quando raggiunge la cima della rampa, utilizziamo il principio di conservazione dell'energia meccanica, considerando sia l'energia cinetica traslazionale che quella rotazionale. **Passaggi del calcolo:** 1. **Energia cinetica iniziale:** La palla sta rotolando senza scivolare, quindi l'energia cinetica totale è data dalla somma dell'energia cinetica traslazionale e rotazionale. \[ E_{c,\text{iniziale}} = \frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{2}I\omega^2 \] Per una sfera solida (come una palla da bowling), il momento d'inerzia è \( I = \frac{2}{5}mr^2 \) e la relazione tra velocità lineare \( v \) e angolare \( \omega \) è \( \omega = \frac{v}{r} \). Sostituendo: \[ E_{c,\text{iniziale}} = \frac{1}{2}mv_i^2 + \frac{1}{2} \left( \frac{2}{5}mr^2 \right) \left( \frac{v_i}{r} \right)^2 = \frac{7}{10}mv_i^2 \] 2. **Energia finale:** Quando la palla raggiunge la cima della rampa, ha ancora energia cinetica (sia traslazionale che rotazionale) e ha acquisito energia potenziale. \[ E_{c,\text{finale}} = \frac{7}{10}mv_f^2 \] \[ E_{p} = mgh \] 3. **Conservazione dell'energia:** \[ E_{c,\text{iniziale}} = E_{c,\text{finale}} + E_p \] \[ \frac{7}{10}mv_i^2 = \frac{7}{10}mv_f^2 + mgh \] Dividiamo entrambi i lati per \( m \): \[ \frac{7}{10}v_i^2 = \frac{7}{10}v_f^2 + gh \] Risolviamo per \( v_f \): \[ \frac{7}{10}v_f^2 = \frac{7}{10}v_i^2 - gh \] \[ v_f^2 = v_i^2 - \frac{10}{7}gh \] \[ v_f = \sqrt{v_i^2 - \frac{10}{7}gh} \] 4. **Calcolo numerico:** Inseriamo i valori forniti: - Velocità iniziale \( v_i = 2,85 \, \text{m/s} \) - Altezza \( h = 0,53 \, \text{m} \) - Accelerazione di gravità \( g = 9,81 \, \text{m/s}^2 \) \[ v_f = \sqrt{(2,85)^2 - \frac{10}{7} \times 9,81 \times 0,53} \] \[ v_f = \sqrt{8,1225 - \frac{10}{7} \times 5,1993} \] \[ v_f = \sqrt{8,1225 - 7,4276} \] \[ v_f = \sqrt{0,6949} \approx 0,833 \, \text{m/s} \] **Risultato:** La velocità della palla quando raggiunge la cima della rampa è approssimativamente **0,83 m/s**.