Ejemplo 7 Se midió el lado de un cubo pero se sabe por experiencia que al medir se comete un error de hasta 0 el error máximo cometido al dar el volumen de un cubo de 10 cm de lado? Identificación de datos: \( f(x)=x^{3} \) dado que el volumen de un cubo es lado por lado por lado y cada lado mide \( x \) de longitud. \[ x=10 \] \( d x=0.1 \)

Para determinar el error máximo cometido al calcular el volumen de un cubo cuando hay un error en la medición de su lado, seguiremos los siguientes pasos: ### **Datos proporcionados:** - **Función del volumen del cubo:** \( V(x) = x^3 \) - **Longitud medida del lado del cubo:** \( x = 10 \, \text{cm} \) - **Error máximo en la medición del lado:** \( \Delta x = 0.1 \, \text{cm} \) ### **Objetivo:** Calcular el error máximo en el volumen del cubo, es decir, \( \Delta V \). ### **Procedimiento:** 1. **Derivada de la función del volumen:** Para encontrar cómo el error en el lado afecta al volumen, utilizamos la derivada de \( V \) respecto a \( x \): \[ V(x) = x^3 \quad \Rightarrow \quad \frac{dV}{dx} = 3x^2 \] 2. **Cálculo del error máximo en el volumen:** El error máximo en el volumen (\( \Delta V \)) se puede aproximar multiplicando la derivada por el error en el lado: \[ \Delta V \approx \frac{dV}{dx} \cdot \Delta x = 3x^2 \cdot \Delta x \] Sustituyendo los valores conocidos: \[ \Delta V = 3 \cdot (10 \, \text{cm})^2 \cdot 0.1 \, \text{cm} = 3 \cdot 100 \, \text{cm}^2 \cdot 0.1 \, \text{cm} = 30 \, \text{cm}^3 \] ### **Conclusión:** El error máximo cometido al calcular el volumen del cubo de 10 cm de lado, con un error en la medición del lado de hasta 0.1 cm, es de **30 cm³**. Por lo tanto, el volumen medido puede variar en ±30 cm³ respecto al valor real.