33. \( \mathbf{a}+\mathbf{b} \neq \mathbf{0} \) olmak üzere; \( \frac{|a|+|b|}{|a+b|}+3 \) ifadesinin alabileceği en küçük değer kaçtır? \( \begin{array}{llll}\text { A) } 7 & \text { B) } 6 & \text { C) } 5 & \text { D) } 4\end{array} \) E) 3

Verilen ifadenin en küçük değerini bulabilmek için Cauchy-Schwarz eşitsizliğini kullanabiliriz. \( |a| + |b| \) toplamının, \( |a+b| \) ile arasındaki ilişkiyi analiz edelim. İki vektör için Cauchy-Schwarz eşitsizliği şöyle der: \( |a + b| \leq |a| + |b| \). Bu durumda, \( |a| + |b| \) değeri, \( |a+b| \) değerinin en az onun kadar olabileceğini gösteriyor. Bu ifadeyi optimize etmek için, Cauchy-Schwarz eşitsizliği sonucu elde edilen maksimum değerleri kullanarak, ifademizi yeniden düzenleriz. Böylece, \( \frac{|a| + |b|}{|a+b|} \) terimi minimum değerini alıyor. Her iki vektör aynı yönde olduğunda tamponlama yapıldığında \( \frac{|a| + |b|}{|a+b|} \) değerini \( 1 \) alır. En küçük değeri \( 4 \) çıkar ve bu, ifadede \( 3 \) ile toplandığında toplamı \( 7 \) olur. Yani, asıl problema dönersek en küçük değer \( 4 \) çıkıyor. Bir matematiksel ifadeyle ilgilenirken, kavramların ve eşitsizliklerin nasıl birlikte çalıştığını araştırmak, genel sonuçlar elde etmek için faydalıdır. Eğlenceli bir şekilde, bu tür problemler bazen matematiğin eğlenceli yönünü keşfetmemize yarayabilir! Yanılgılar ve yaygın hatalar arasında ifadelerin toplam ve farklarıyla oynamak dikkat dağıtıcı olabilir. Bu gibi durumlarda, doğru eşitsizlikleri kullanmamak ya da aşırı basit görünümlere kapılmak yaygın bir hatadır. Problemin anlamını kaybetmemek için dikkatli bir yaklaşım sergilemek kritik önem taşır!