Zadanie 15. \( (0-2) \) Prosta o równaniu \( x=3 \) jest osią symetrii wykresu funkcji \( f(x)=-2 x^{2}+b x-1 \). Wyznacz miejsca zerowe funkcji \( f \). Zapisz obliczenia.

Aby funkcja \( f(x) = -2x^2 + bx - 1 \) miała prostą o równaniu \( x=3 \) jako osią symetrii, musi być postaci parabolowej z wierzchołkiem w punkcie \( x=3 \). Wzór na współrzędną x wierzchołka parabolii opisanej przez równanie kwadratowe \( ax^2 + bx + c \) jest dany wzorem \( x_w = -\frac{b}{2a} \). Dla naszej funkcji \( a = -2 \) i \( b \) pozostaje nieznana. Ustawiamy równanie: \[ 3 = -\frac{b}{2(-2)} = \frac{b}{4} \] Rozwiązując to równanie, mnożymy obie strony przez 4: \[ 12 = b \] Podstawiamy \( b \) do funkcji, otrzymując: \[ f(x) = -2x^2 + 12x - 1 \] Teraz wyznaczamy miejsca zerowe funkcji \( f \) stosując wzór kwadratowy \( x = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A} \), gdzie \( A = -2, B = 12, C = -1 \): 1. Obliczamy deltę: \[ \Delta = B^2 - 4AC = 12^2 - 4(-2)(-1) = 144 - 8 = 136 \] 2. Obliczamy miejsca zerowe: \[ x = \frac{-12 \pm \sqrt{136}}{2(-2)} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{34}}{-4} = \frac{12 \mp 2\sqrt{34}}{4} = 3 \mp \frac{\sqrt{34}}{2} \] Stąd miejsca zerowe funkcji \( f(x) \) to: \[ x_1 = 3 - \frac{\sqrt{34}}{2}, \quad x_2 = 3 + \frac{\sqrt{34}}{2} \]