Calculate $$ an(75^{\circ}) $$ using the difference formula.

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Calculate $$ 	an(75^{\circ}) $$ using the difference formula.

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Para calcular $$ \tan(75^{\circ}) $$ utilizando a fórmula da soma dos ângulos, podemos seguir os passos abaixo:

### Passo 1: Escolher Ângulos Conhecidos
Escolhemos dois ângulos cuja soma seja $$75^{\circ}$$ e cujas tangentes sejam conhecidas. Uma boa escolha é:
- $$ A = 45^{\circ} $$
- $$ B = 30^{\circ} $$

### Passo 2: Aplicar a Fórmula da Tangente da Soma
A fórmula da tangente da soma de dois ângulos é:
$$
\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B}
$$
Substituindo $$ A = 45^{\circ} $$ e $$ B = 30^{\circ} $$:
$$
\tan(75^{\circ}) = \frac{\tan(45^{\circ}) + \tan(30^{\circ})}{1 - \tan(45^{\circ}) \cdot \tan(30^{\circ})}
$$

### Passo 3: Substituir os Valores das Tangentes Conhecidas
Sabemos que:
- $$ \tan(45^{\circ}) = 1 $$
- $$ \tan(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3} $$

Substituindo na equação:
$$
\tan(75^{\circ}) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}
$$

### Passo 4: Racionalizar o Denominador
Para simplificar a expressão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador:
$$
\frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6}
$$
Simplificando:
$$
\frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3}
$$

### Resultado Final
Portanto:
$$
\tan(75^{\circ}) = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732
$$
$$ \tan(75^{\circ}) = 2 + \sqrt{3} $$

Calculate using the difference formula.

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