Calculate \( \tan(75^{\circ}) \) using the difference formula.

Para calcular \( \tan(75^{\circ}) \) utilizando a fórmula da soma dos ângulos, podemos seguir os passos abaixo: ### Passo 1: Escolher Ângulos Conhecidos Escolhemos dois ângulos cuja soma seja \(75^{\circ}\) e cujas tangentes sejam conhecidas. Uma boa escolha é: - \( A = 45^{\circ} \) - \( B = 30^{\circ} \) ### Passo 2: Aplicar a Fórmula da Tangente da Soma A fórmula da tangente da soma de dois ângulos é: \[ \tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \cdot \tan B} \] Substituindo \( A = 45^{\circ} \) e \( B = 30^{\circ} \): \[ \tan(75^{\circ}) = \frac{\tan(45^{\circ}) + \tan(30^{\circ})}{1 - \tan(45^{\circ}) \cdot \tan(30^{\circ})} \] ### Passo 3: Substituir os Valores das Tangentes Conhecidas Sabemos que: - \( \tan(45^{\circ}) = 1 \) - \( \tan(30^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{3} \) Substituindo na equação: \[ \tan(75^{\circ}) = \frac{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - 1 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{\frac{3 + \sqrt{3}}{3}}{\frac{3 - \sqrt{3}}{3}} = \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \] ### Passo 4: Racionalizar o Denominador Para simplificar a expressão, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador: \[ \frac{3 + \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}} \cdot \frac{3 + \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} = \frac{(3 + \sqrt{3})^2}{(3)^2 - (\sqrt{3})^2} = \frac{9 + 6\sqrt{3} + 3}{9 - 3} = \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} \] Simplificando: \[ \frac{12 + 6\sqrt{3}}{6} = 2 + \sqrt{3} \] ### Resultado Final Portanto: \[ \tan(75^{\circ}) = 2 + \sqrt{3} \approx 3.732 \]