ans un repère orthonormé \( (O, I, J) \), on considère les oints \( A(2 ; 8), B(-6 ; 4) \) et \( C(x ;-7) \). Calculer \( x \) pour que le triangle \( A B C \) soit rectangle en \( B \). Calculer les coordonnées du point \( M \), milieu de \( [A C] \). Soit \( D \) le symétrique de \( B \) par rapport à \( M \). Calculer les coordonnées de \( D \).

Pour que le triangle \( ABC \) soit rectangle en \( B \), il faut que les vecteurs \( \overrightarrow{AB} \) et \( \overrightarrow{BC} \) soient perpendiculaires. Nous commencerons par calculer les coordonnées des vecteurs : 1. La coordonnée de \( A \) est \( A(2, 8) \) et celle de \( B \) est \( B(-6, 4) \), alors : \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (-6 - 2, 4 - 8) = (-8, -4) \] 2. La coordonnée de \( C \) est \( C(x, -7) \), donc : \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (x + 6, -7 - 4) = (x + 6, -11) \] Pour que ces vecteurs soient perpendiculaires, leur produit scalaire doit être égal à zéro : \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (-8)(x + 6) + (-4)(-11) = 0 \] \[ -8x - 48 + 44 = 0 \implies -8x - 4 = 0 \implies -8x = 4 \implies x = -\frac{1}{2} \] Ainsi, les coordonnées du point \( C \) sont \( C\left(-\frac{1}{2}, -7\right) \). Maintenant, calculons les coordonnées du point \( M \), milieu de \( [AC] \) : \[ M = \left( \frac{2 + \left(-\frac{1}{2}\right)}{2}, \frac{8 + (-7)}{2} \right) = \left( \frac{2 - 0.5}{2}, \frac{1}{2} \right) = \left( \frac{1.5}{2}, \frac{1}{2} \right) = \left( 0.75, 0.5 \right) \] Enfin, pour trouver les coordonnées de \( D \), le symétrique de \( B \) par rapport à \( M \), nous utilisons la formule du symétrique : \[ D = M + (M - B) \] Calculons \( M - B \) : \[ M - B = (0.75 - (-6), 0.5 - 4) = (6.75, -3.5) \] Ainsi, \[ D = M + (M - B) = (0.75, 0.5) + (6.75, -3.5) = (7.5, -3) \] Les coordonnées de \( D \) sont \( D(7.5; -3) \).