\( 3^{\circ} \) ) Dadas las siguientes funciones, hallar el Dominio de la función compuesta ( f o g ): \( f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} ; \quad g_{(x)}=x^{2}-x-2 \)

Para encontrar el dominio de la función compuesta \( f(g(x)) \), primero determinemos el dominio de \( g(x) = x^2 - x - 2 \). Esta función es un polinomio, lo que significa que su dominio es todo el conjunto de los números reales (\( \mathbb{R} \)). Sin embargo, al aplicar \( g(x) \) dentro de \( f(x) \), debemos asegurarnos de que el resultado esté en el dominio de \( f(x) \). La función \( f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} \) está definida para \( x > 0 \). Por lo tanto, debemos resolver la desigualdad \( g(x) > 0 \): \( x^2 - x - 2 > 0 \) Factorizando la ecuación: \( (x-2)(x+1) > 0 \) Los puntos críticos son \( x = -1 \) y \( x = 2 \). Usando la regla de los signos, encontramos que \( g(x) > 0 \) en los intervalos \( (-\infty, -1) \) y \( (2, \infty) \). Así que el dominio de la función compuesta \( f(g(x)) \) es \( (-\infty, -1) \cup (2, \infty) \). En resumen, la función compuesta \( f(g(x)) \) está definida solo cuando \( x \) está en esos intervalos. ¡Así que asegúrate de elegir valores de \( x \) que estén en esas regiones para evitar sorpresas!