Considere la $$ \operatorname{EDO} \frac{d y}{d x}=2 x \cos (x)-4 $$. Diga cuál de las siguientes es su solución:

Question

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Para resolver la ecuación diferencial ordinaria (EDO) dada:

$$
\frac{d y}{d x} = 2 x \cos(x) - 4
$$

debemos integrar ambos lados con respecto a $$ x $$.

La solución general se obtiene al integrar el lado derecho:

$$
y = \int (2 x \cos(x) - 4) \, dx
$$

Podemos separar la integral en dos partes:

$$
y = \int 2 x \cos(x) \, dx - \int 4 \, dx
$$

La segunda integral es sencilla:

$$
\int 4 \, dx = 4x
$$

Para la primera integral, $$ \int 2 x \cos(x) \, dx $$, podemos usar la técnica de integración por partes. Sea:

- $$ u = 2x $$  $$\Rightarrow du = 2 \, dx$$
- $$ dv = \cos(x) \, dx $$  $$\Rightarrow v = \sin(x)$$

Aplicando la fórmula de integración por partes $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$:

$$
\int 2x \cos(x) \, dx = 2x \sin(x) - \int 2 \sin(x) \, dx
$$

La integral de $$ 2 \sin(x) $$ es:

$$
\int 2 \sin(x) \, dx = -2 \cos(x)
$$

Por lo tanto, tenemos:

$$
\int 2x \cos(x) \, dx = 2x \sin(x) + 2 \cos(x)
$$

Ahora, combinamos todo:

$$
y = (2x \sin(x) + 2 \cos(x)) - 4x + C
$$

donde $$ C $$ es la constante de integración.

Finalmente, la solución general de la EDO es:

$$
y = 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 4x + C
$$

Esta es la solución de la ecuación diferencial dada.
La solución de la EDO es $$ y = 2x \sin(x) + 2 \cos(x) - 4x + C $$.

Considere la \( \operatorname{EDO} \frac{d y}{d x}=2 x \cos (x)-4 \). Diga cuál de las siguientes es su solución: