3. (20 puntos) Para un prisma rectangular se sabe su superficie está dada por \( S=2 a b+2 a c+2 b c \) y su volumen está dado por \( V=a b c \) donde \( a \) es la longitud de la arista de la base, \( b \) es la longitud de la arista de la profundidad y \( c \) es la longitud de la arista de la altura. Encontrar la longitud de la arista faltante si se tienen los valores \[ \begin{array}{ll}\text { a) } S=750, a=10, b=4, c=2 x+1\end{array} \] b) \( S=1200, a=3 x-1, b=10, c=2 \)

Para la primera parte del problema, tenemos que trabajar con la fórmula de la superficie. Sustituyendo los valores proporcionados en \( S = 750, a = 10, b = 4, \) y \( c = 2x + 1 \): \[ 750 = 2(10)(4) + 2(10)(2x + 1) + 2(4)(2x + 1) \] Resolviendo esto: \[ 750 = 80 + 20(2x + 1) + 8(2x + 1) \] Simplificamos: \[ 750 = 80 + 40x + 20 + 16x + 8 \] \[ 750 = 108 + 56x \] Restamos 108 de ambos lados: \[ 642 = 56x \] Finalmente, dividimos por 56: \[ x = \frac{642}{56} \approx 11.46 \] Ahora, para la segunda parte, sustituimos en la fórmula de la superficie \( S = 1200, a = 3x - 1, b = 10, c = 2 \): \[ 1200 = 2(3x - 1)(10) + 2(3x - 1)(2) + 2(10)(2) \] Resolviendo esto paso a paso: \[ 1200 = 60(3x - 1) + 4(3x - 1) + 40 \] \[ 1200 = 64(3x - 1) + 40 \] \[ 1200 - 40 = 64(3x - 1) \] \[ 1160 = 64(3x - 1) \] Dividimos por 64: \[ \frac{1160}{64} = 3x - 1 \] Calculamos \( \frac{1160}{64} = 18.125 \): \[ 18.125 + 1 = 3x \rightarrow 19.125 = 3x \rightarrow x = \frac{19.125}{3} \approx 6.375 \] Por lo tanto, las longitudes de las aristas faltantes son aproximadamente \( x \approx 11.46 \) para la primera y \( x \approx 6.375 \) para la segunda.