Un consumidor tiene una función de utilidad \( U(X, Y)=X^{0.8} Y^{0.2} \) El ingreso del consumidor es \( R=100 \), el precio del bien \( P_{X}=4 \) y el precio del bien \( Y \) es \( P_{Y} \) - Determina la cantidad óptima de \( X \) e \( Y \) que debe consumir el consumidor. - Encuentra la Tasa Marginal de Sustitución. - Grafique

Para resolver el problema planteado, seguiremos los siguientes pasos: ### 1. **Determinar la cantidad óptima de \( X \) e \( Y \) que debe consumir el consumidor** Dado que la función de utilidad es de tipo Cobb-Douglas: \[ U(X, Y) = X^{0.8} Y^{0.2} \] Las funciones de demanda óptima para una función de utilidad Cobb-Douglas están dadas por: \[ X^* = \frac{a \cdot R}{P_X} \quad \text{y} \quad Y^* = \frac{b \cdot R}{P_Y} \] donde: - \( a = 0.8 \) y \( b = 0.2 \) son los exponentes de la función de utilidad. - \( R = 100 \) es el ingreso del consumidor. - \( P_X = 4 \) es el precio del bien \( X \). - \( P_Y \) es el precio del bien \( Y \). **Calculamos \( X^* \):** \[ X^* = \frac{0.8 \cdot 100}{4} = \frac{80}{4} = 20 \] **Calculamos \( Y^* \):** \[ Y^* = \frac{0.2 \cdot 100}{P_Y} = \frac{20}{P_Y} \] Por lo tanto, la cantidad óptima que debe consumir el consumidor es: \[ X^* = 20 \quad \text{y} \quad Y^* = \frac{20}{P_Y} \] ### 2. **Encontrar la Tasa Marginal de Sustitución (TMS)** La Tasa Marginal de Sustitución (TMS) entre los bienes \( X \) e \( Y \) se define como la cantidad de \( Y \) que el consumidor está dispuesto a renunciar para obtener una unidad adicional de \( X \), manteniendo constante la utilidad. Para la función de utilidad Cobb-Douglas: \[ U(X, Y) = X^{a} Y^{b} \] la TMS se calcula como: \[ TMS = \frac{MU_X}{MU_Y} = \frac{a}{b} \cdot \frac{Y}{X} \] Donde \( MU_X \) y \( MU_Y \) son las utilidades marginales de \( X \) e \( Y \), respectivamente. **Aplicando los valores dados:** \[ TMS = \frac{0.8}{0.2} \cdot \frac{Y}{X} = 4 \cdot \frac{Y}{X} \] Por lo tanto, la Tasa Marginal de Sustitución es: \[ TMS = \frac{4Y}{X} \] ### 3. **Gráfica** A continuación, se presenta una gráfica que muestra la curva de indiferencia del consumidor y la línea de presupuesto, indicando el punto de equilibrio óptimo \( (X^*, Y^*) \).  **Descripción de la Gráfica:** - **Línea de Presupuesto:** Representa todas las combinaciones de bienes \( X \) e \( Y \) que el consumidor puede adquirir con su ingreso \( R = 100 \). La ecuación de la línea de presupuesto es: \[ 4X + P_Y Y = 100 \] - **Curva de Indiferencia:** Es una representación de todas las combinaciones de \( X \) e \( Y \) que proporcionan el mismo nivel de utilidad al consumidor. - **Punto de Equilibrio (\( X^*, Y^* \)):** Es el punto donde la curva de indiferencia es tangente a la línea de presupuesto, indicando la combinación óptima de bienes que maximiza la utilidad del consumidor dadas sus restricciones presupuestarias. *Nota:* La gráfica es ilustrativa y depende del valor específico de \( P_Y \). Para un valor concreto de \( P_Y \), se puede trazar con mayor precisión.