Question
6) \( \lim _{x \rightarrow-\infty} \cos \left(\tan ^{-1} x\right)= \) \( \begin{array}{llll}\text { (a) } 1 & \text { (b) Does not exist } & \text { (c) } 0 & \text { (d) } \infty\end{array} \)
Ask by King Gross. in Saudi Arabia
Jan 20,2025
Real Tutor Solution
Tutor-Verified Answer
Answer
النهاية \( \lim _{x \rightarrow-\infty} \cos \left(\tan ^{-1} x\right) = 0 \).
Solution
لحساب النهاية \( \lim _{x \rightarrow-\infty} \cos \left(\tan ^{-1} x\right) \)، دعنا نتبع الخطوات التالية:
1. **فهم الدالة**: نبدأ بفهم ما يحدث عندما يقترب \( x \) من سالب اللانهاية. الدالة \( \tan^{-1} x \) هي دالة عكسية للدالة المماسية، وتقترب من قيم معينة عندما يقترب \( x \) من سالب اللانهاية.
2. **حساب \( \tan^{-1} x \)**: عندما يقترب \( x \) من سالب اللانهاية، فإن \( \tan^{-1} x \) تقترب من \( -\frac{\pi}{2} \).
3. **حساب \( \cos \left(\tan^{-1} x\right) \)**: الآن، نحتاج إلى حساب \( \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) \).
4. **القيمة النهائية**: نعلم أن \( \cos \left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0 \).
لذا، فإن النهاية هي:
\[
\lim _{x \rightarrow-\infty} \cos \left(\tan ^{-1} x\right) = 0
\]
وبذلك، الخيار الصحيح هو (c) 0.
Reviewed and approved by the UpStudy tutoring team
Like
error msg
Explain 
Simplify this solution Extra Insights
To solve the limit \( \lim _{x \rightarrow -\infty} \cos \left(\tan^{-1} x\right) \), we first consider what happens to \( \tan^{-1} x \) as \( x \) approaches negative infinity. The function \( \tan^{-1} x \) approaches \( -\frac{\pi}{2} \). Next, we compute \( \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) \), which equals \( 0 \). Therefore, \[ \lim _{x \rightarrow-\infty} \cos \left(\tan^{-1} x\right) = 0. \] The correct answer is (c) 0.
