2. Вычислить тройной интеграл \( \iiint^{2}\left(x^{2}+y^{2}+4 z\right) d x d y d z, V:-1 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2,-1 \leq z \leq 1 \)

Чтобы вычислить тройной интеграл \( \iiint_{V}(x^{2}+y^{2}+4 z) \, d x \, d y \, d z \), где \( V \) — это область, заданная ограничениями \(-1 \leq x \leq 1\), \( 0 \leq y \leq 2\) и \(-1 \leq z \leq 1\), мы можем разбить интеграл на три части и вычислить его пошагово. Первый, что нам нужно сделать, это установить порядок интегрирования. Рассмотрим порядок \( dz \, dy \, dx \): \[ \iiint_{V}(x^{2}+y^{2}+4 z) \, d x \, d y \, d z = \int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} \int_{-1}^{1} (x^{2}+y^{2}+4 z) \, dz \, dy \, dx. \] Теперь вычислим внутренний интеграл по \( z \): \[ \int_{-1}^{1} (x^{2}+y^{2}+4 z) \, dz = \left[ (x^{2}+y^{2})z + 2z^{2} \right]_{-1}^{1} = (x^{2}+y^{2}) \cdot 1 + 2 \cdot 1^2 - ((x^{2}+y^{2}) \cdot (-1) + 2(-1)^{2}). \] Это можно упростить: \[ = (x^{2}+y^{2}) + 2 + (x^{2}+y^{2}) - 2 = 2(x^{2}+y^{2}). \] Теперь подставим это в интеграл: \[ \int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} 2(x^{2}+y^{2}) \, dy \, dx. \] Теперь можем считать сначала по \( y \): \[ \int_{0}^{2}(2(x^{2}+y^{2})) \, dy = 2\left[x^{2}y + \frac{y^{3}}{3} \right]_{0}^{2} = 2\left(2x^{2} + \frac{8}{3}\right) = 4x^{2} + \frac{16}{3}. \] Теперь подставим в интеграл по \( x \): \[ \int_{-1}^{1} \left(4x^{2} + \frac{16}{3}\right) \, dx = \left[ \frac{4x^{3}}{3} + \frac{16}{3}x \right]_{-1}^{1} = \left(\frac{4}{3} + \frac{16}{3}\right) - \left(-\frac{4}{3} - \frac{16}{3}\right). \] Это даст: \[ = \left(\frac{20}{3}\right) - \left(-\frac{20}{3}\right) = \frac{40}{3}. \] Таким образом, значение тройного интеграла \( \iiint^{2}(x^{2}+y^{2}+4 z) \, d x \, d y \, d z \) равно \( \frac{40}{3} \).