(2) Si \( f(x)=\frac{2 \tan x}{1+\tan ^{2} x} \quad \) y \( g(x)=\operatorname{sen} 2 x \) a) Pruebe que \( f(x)=g(x) \) para todos los nelues aduuiubles de la vonable.

Para demostrar que \( f(x) = g(x) \) para todos los valores de \( x \) en los que ambas funciones están definidas, procedemos de la siguiente manera: **Dado:** \[ f(x) = \frac{2 \tan x}{1 + \tan^2 x} \quad \text{y} \quad g(x) = \sin 2x \] **Paso 1: Expresamos \( \tan x \) en términos de \( \sin x \) y \( \cos x \).** Sabemos que: \[ \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \] **Paso 2: Sustituimos \( \tan x \) en la expresión de \( f(x) \).** \[ f(x) = \frac{2 \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)}{1 + \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^2} = \frac{\frac{2 \sin x}{\cos x}}{1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}} \] **Paso 3: Simplificamos el denominador.** \[ 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x} \quad \text{(ya que } \cos^2 x + \sin^2 x = 1\text{)} \] **Paso 4: Reescribimos \( f(x) \) con el denominador simplificado.** \[ f(x) = \frac{\frac{2 \sin x}{\cos x}}{\frac{1}{\cos^2 x}} = 2 \sin x \cos x \] **Paso 5: Reconocemos la identidad trigonométrica para \( \sin 2x \).** \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] **Conclusión:** \[ f(x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2x = g(x) \] Por lo tanto, hemos demostrado que \( f(x) = g(x) \) para todos los valores de \( x \) donde ambas funciones están definidas.