Esercizio 1. (8pt) È possibile costruire un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) tale che • \( (1,1,0) \) è autovettore associato all'autovalore 2 e il nucleo di \( F \) è il sottospazio \( \mathcal{L}((-1,1,1),(0,1,1) \) ? In caso affermativo calcolare la matrice associata ad \( F \) rispetto alla base canonica ed il polinomio caratteristico di \( F \).

Sì, è possibile costruire un'applicazione lineare \( F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) che soddisfa le condizioni date. Procediamo a verificare e costruire la matrice associata e il polinomio caratteristico. ### 1. Verifica dell'Esistenza di \( F \) **Condizioni:** - \( (1,1,0) \) è un autovettore associato all'autovalore 2: \[ F(1,1,0) = 2(1,1,0) \] - Il nucleo di \( F \) è il sottospazio \( \mathcal{L}\{ (-1,1,1), (0,1,1) \} \). Dato che \( \ker(F) \) è un sottospazio bidimensionale, la mappa \( F \) ha rango 1. Questo implica che l'immagine di \( F \) deve essere generata dal vettore \( F(1,1,0) = 2(1,1,0) \). ### 2. Costruzione della Mappa Lineare \( F \) Consideriamo una base per \( \mathbb{R}^3 \): \[ \{ u, v_1, v_2 \} \quad \text{dove} \quad u = (1,1,0), \, v_1 = (-1,1,1), \, v_2 = (0,1,1) \] Definiamo \( F \) come: \[ F(u) = 2u = (2,2,0), \quad F(v_1) = F(v_2) = 0 \] Poiché \( F \) ha rango 1, può essere espressa come: \[ F(\mathbf{x}) = c(\mathbf{x}) \cdot u \] dove \( c: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} \) è una forma lineare da determinare. **Condizioni per \( c \):** \[ c(1,1,0) = 2, \quad c(-1,1,1) = 0, \quad c(0,1,1) = 0 \] Rappresentiamo \( c \) come \( c(x,y,z) = a x + b y + c z \). Risolvendo il sistema: \[ \begin{cases} a + b = 2 \\ -a + b + c = 0 \\ b + c = 0 \end{cases} \] Otteniamo \( a = 0 \), \( b = 2 \), e \( c = -2 \). Quindi: \[ c(x,y,z) = 2y - 2z \] La mappa \( F \) diventa: \[ F(x,y,z) = (2y - 2z) \cdot (1,1,0) = (2y - 2z, 2y - 2z, 0) \] ### 3. Matrice Associata a \( F \) nella Base Canonica La matrice di \( F \) rispetto alla base canonica è: \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] ### 4. Polinomio Caratteristico di \( F \) Il polinomio caratteristico si ottiene calcolando il determinante della matrice \( F - \lambda I \): \[ \det(F - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} -\lambda & 2 & -2 \\ 0 & 2 - \lambda & -2 \\ 0 & 0 & -\lambda \end{pmatrix} = (-\lambda)(2 - \lambda)(-\lambda) = \lambda^2(2 - \lambda) \] ### **Conclusione** **Matrice associata a \( F \):** \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] **Polinomio caratteristico di \( F \):** \[ \lambda^2 (2 - \lambda) \] **Risposta finale:** Sì. La matrice di \( F \) nella base canonica è \[ \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \\ 0 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] e il suo polinomio caratteristico è \( \lambda^{2}(2 - \lambda) \).