Esercizio 1. (8pt) È possibile costruire un’applicazione lineare tale che
• è autovettore associato all’autovalore 2
e il nucleo di è il sottospazio ?
In caso affermativo calcolare la matrice associata ad rispetto alla base canonica ed il polinomio
caratteristico di .

Ask by Fitzgerald Mullins. in Italy

Jan 20,2025

Question

Esercizio 1. (8pt) È possibile costruire un’applicazione lineare tale che
• è autovettore associato all’autovalore 2
e il nucleo di è il sottospazio ?
In caso affermativo calcolare la matrice associata ad rispetto alla base canonica ed il polinomio
caratteristico di .

Ask by Fitzgerald Mullins. in Italy

Jan 20,2025

UpStudy AI · Accepted Answer

Sì, è possibile costruire un'applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$ che soddisfa le condizioni date. Procediamo a verificare e costruire la matrice associata e il polinomio caratteristico.

### 1. Verifica dell'Esistenza di $$ F $$

**Condizioni:**
- $$ (1,1,0) $$ è un autovettore associato all'autovalore 2:
  $$
  F(1,1,0) = 2(1,1,0)
  $$
- Il nucleo di $$ F $$ è il sottospazio $$ \mathcal{L}\{ (-1,1,1), (0,1,1) \} $$.

Dato che $$ \ker(F) $$ è un sottospazio bidimensionale, la mappa $$ F $$ ha rango 1. Questo implica che l'immagine di $$ F $$ deve essere generata dal vettore $$ F(1,1,0) = 2(1,1,0) $$.

### 2. Costruzione della Mappa Lineare $$ F $$

Consideriamo una base per $$ \mathbb{R}^3 $$:
$$
\{ u, v_1, v_2 \} \quad \text{dove} \quad u = (1,1,0), \, v_1 = (-1,1,1), \, v_2 = (0,1,1)
$$
Definiamo $$ F $$ come:
$$
F(u) = 2u = (2,2,0), \quad F(v_1) = F(v_2) = 0
$$
Poiché $$ F $$ ha rango 1, può essere espressa come:
$$
F(\mathbf{x}) = c(\mathbf{x}) \cdot u
$$
dove $$ c: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R} $$ è una forma lineare da determinare.

**Condizioni per $$ c $$:**
$$
c(1,1,0) = 2, \quad c(-1,1,1) = 0, \quad c(0,1,1) = 0
$$
Rappresentiamo $$ c $$ come $$ c(x,y,z) = a x + b y + c z $$. Risolvendo il sistema:
$$
\begin{cases}
a + b = 2 \
-a + b + c = 0 \
b + c = 0
\end{cases}
$$
Otteniamo $$ a = 0 $$, $$ b = 2 $$, e $$ c = -2 $$. Quindi:
$$
c(x,y,z) = 2y - 2z
$$
La mappa $$ F $$ diventa:
$$
F(x,y,z) = (2y - 2z) \cdot (1,1,0) = (2y - 2z, 2y - 2z, 0)
$$

### 3. Matrice Associata a $$ F $$ nella Base Canonica

La matrice di $$ F $$ rispetto alla base canonica è:
$$
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -2 \
0 & 2 & -2 \
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

### 4. Polinomio Caratteristico di $$ F $$

Il polinomio caratteristico si ottiene calcolando il determinante della matrice $$ F - \lambda I $$:
$$
\det(F - \lambda I) = \det\begin{pmatrix}
-\lambda & 2 & -2 \
0 & 2 - \lambda & -2 \
0 & 0 & -\lambda
\end{pmatrix} = (-\lambda)(2 - \lambda)(-\lambda) = \lambda^2(2 - \lambda)
$$

### **Conclusione**

**Matrice associata a $$ F $$:**
$$
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -2 \
0 & 2 & -2 \
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

**Polinomio caratteristico di $$ F $$:**
$$
\lambda^2 (2 - \lambda)
$$

**Risposta finale:**

Sì. La matrice di $$ F $$ nella base canonica è

$$
\begin{pmatrix}
0 & 2 & -2 \
0 & 2 & -2 \
0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$

e il suo polinomio caratteristico è $$ \lambda^{2}(2 - \lambda) $$.
Sì, è possibile costruire l'applicazione lineare $$ F: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} $$ con le proprietà richieste. La matrice associata a $$ F $$ rispetto alla base canonica è: $$ \begin{pmatrix} 0 & 2 & -2 \ 0 & 2 & -2 \ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$ Il polinomio caratteristico di $$ F $$ è $$ \lambda^{2}(2 - \lambda) $$.

Esercizio 1. (8pt) È possibile costruire un’applicazione lineare tale che
• è autovettore associato all’autovalore 2
e il nucleo di è il sottospazio ?
In caso affermativo calcolare la matrice associata ad rispetto alla base canonica ed il polinomio
caratteristico di .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

1. Verifica dell’Esistenza di

2. Costruzione della Mappa Lineare

3. Matrice Associata a nella Base Canonica

4. Polinomio Caratteristico di

Conclusione

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Other Questions

Esercizio 1. (8pt) È possibile costruire un’applicazione lineare tale che • è autovettore associato all’autovalore 2 e il nucleo di è il sottospazio ? In caso affermativo calcolare la matrice associata ad rispetto alla base canonica ed il polinomio caratteristico di .

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

1. Verifica dell’Esistenza di

2. Costruzione della Mappa Lineare

3. Matrice Associata a nella Base Canonica

4. Polinomio Caratteristico di

Conclusione

Bonus Knowledge

Related Questions

Latest Other Questions

Esercizio 1. (8pt) È possibile costruire un’applicazione lineare tale che
• è autovettore associato all’autovalore 2
e il nucleo di è il sottospazio ?
In caso affermativo calcolare la matrice associata ad rispetto alla base canonica ed il polinomio
caratteristico di .