Zadanie 6. \( (0-1) \) Dokończ zdanie. Wybierz wlaściwą odpowiedź spośród podanych. Dla \( x \neq 0 \) i \( x \neq 1 \) różnica \( \frac{x+1}{x}-\frac{x}{x+1} \) jest równa: \( \begin{array}{llll}\text { A. } \frac{1}{x(x+1)} & \text { B. } \frac{x^{2}-x+1}{x(x+1)} & \text { C. }-1 & \text { D. } \frac{2 x+1}{x(x+1)}\end{array} \)

Aby obliczyć różnicę \( \frac{x+1}{x}-\frac{x}{x+1} \), należy najpierw sprowadzić te wyrażenia do wspólnego mianownika. Wspólnym mianownikiem dla \( x \) i \( x+1 \) jest \( x(x+1) \). Rozpoczynamy od pierwszego wyrażenia: \[ \frac{x+1}{x} = \frac{(x+1)(x+1)}{x(x+1)} = \frac{(x+1)^2}{x(x+1)} = \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x+1)} \] Teraz przekształcamy drugie wyrażenie: \[ \frac{x}{x+1} = \frac{x^2}{x(x+1)} \] Zatem różnica staje się: \[ \frac{x^2 + 2x + 1}{x(x+1)} - \frac{x^2}{x(x+1)} = \frac{x^2 + 2x + 1 - x^2}{x(x+1)} = \frac{2x + 1}{x(x+1)} \] Ostateczny wynik to \( \frac{2x + 1}{x(x+1)} \). Odpowiedź: \( \text{D. } \frac{2 x+1}{x(x+1)} \)