20. The figure shows a cube $$ A B C D E F G H $$ of side $$ 8 \mathrm{~cm} . E A \perp A B $$ and $$ E C \perp B C $$. (a) Find the volume of the pyramid $$ A B C D E $$. (b) Find the total surface area of the pyramid $$ A B C D E $$.

Question

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要解決這個問題，我們需要分別計算金字塔 $$ A B C D E $$ 的體積和總表面積。

### (a) 計算金字塔的體積

金字塔的體積公式為：
$$
V = \frac{1}{3} \times B \times h
$$
其中 $$ B $$ 是底面的面積，$$ h $$ 是金字塔的高度。

1. **計算底面 $$ A B C D $$ 的面積**：
   - 底面是正方形，邊長為 $$ 8 \, \text{cm} $$。
   - 面積 $$ B $$ 為：
   $$
   B = 8 \times 8 = 64 \, \text{cm}^2
   $$

2. **計算金字塔的高度 $$ h $$**：
   - 高度 $$ h $$ 是從點 $$ E $$ 到底面 $$ A B C D $$ 的垂直距離，因為 $$ E $$ 在 $$ A $$ 的上方，且 $$ E A \perp A B $$，所以 $$ h = 8 \, \text{cm} $$。

3. **計算體積 $$ V $$**：
   $$
   V = \frac{1}{3} \times 64 \times 8 = \frac{512}{3} \approx 170.67 \, \text{cm}^3
   $$

### (b) 計算金字塔的總表面積

金字塔的總表面積由底面和四個側面組成。

1. **底面面積**：
   - 已經計算過，底面 $$ A B C D $$ 的面積為 $$ 64 \, \text{cm}^2 $$。

2. **計算側面面積**：
   - 每個側面都是三角形，底邊為 $$ 8 \, \text{cm} $$，高度為從 $$ E $$ 到底邊的垂直距離。
   - 側面 $$ A B E $$ 的高度可以用勾股定理計算：
     - $$ A B = 8 \, \text{cm} $$
     - $$ E A = 8 \, \text{cm} $$
     - 側面高度 $$ h_s $$ 為：
     $$
     h_s = \sqrt{(4)^2 + (8)^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \, \text{cm}
     $$

- 每個側面的面積 $$ A_s $$ 為：
   $$
   A_s = \frac{1}{2} \times \text{底邊} \times \text{高度} = \frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{5} = 16\sqrt{5} \, \text{cm}^2
   $$

- 四個側面的總面積為：
   $$
   A_{total\_sides} = 4 \times 16\sqrt{5} = 64\sqrt{5} \, \text{cm}^2
   $$

3. **計算總表面積 $$ A $$**：
   $$
   A = \text{底面面積} + \text{側面總面積} = 64 + 64\sqrt{5} \, \text{cm}^2
   $$

### 最終答案

(a) 金字塔 $$ A B C D E $$ 的體積為 $$ \frac{512}{3} \, \text{cm}^3 $$ 或約 $$ 170.67 \, \text{cm}^3 $$。

(b) 金字塔 $$ A B C D E $$ 的總表面積為 $$ 64 + 64\sqrt{5} \, \text{cm}^2 $$。
(a) 金字塔的體積為約170.67立方厘米。 (b) 金字塔的總表面積為$$ 64 + 64\sqrt{5} $$平方厘米。

The figure shows a cube of side and
.
(a) Find the volume of the pyramid .
(b) Find the total surface area of the pyramid .

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