Exercice 63 : Dans chacun des cas suivants, reps senter l'ensemble des points $$ M $$ dont l'affixe $$ z $$ verifes Y'égalité donnée: a) $$ \arg (z) \equiv \frac{\pi}{3}[2 \pi] $$. b) $$ \arg (z) \equiv-\frac{\pi}{6}[2 \pi] $$ c) $$ \arg (i z) \equiv \frac{5 \pi}{4}[\pi] $$ d) $$ \arg \left(\frac{z}{1+i}\right) \equiv \frac{\pi}{4}[\pi] $$

Question

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Pour représenter l'ensemble des points $$ M $$ dont l'affixe $$ z $$ vérifie les égalités données, analysons chaque cas séparément.

### a) $$ \arg(z) \equiv \frac{\pi}{3} \, [2\pi] $$

**Interprétation :**
L'égalité $$ \arg(z) \equiv \frac{\pi}{3} \, [2\pi] $$ signifie que l'argument de $$ z $$ est égal à $$ \frac{\pi}{3} $$ modulo $$ 2\pi $$. Autrement dit, pour tout entier $$ k $$, on a :
$$
\arg(z) = \frac{\pi}{3} + 2k\pi
$$

**Représentation Géométrique :**
Cette condition décrit une demi-droite (ou un rayon) partant de l'origine dans le plan complexe, faisant un angle de $$ \frac{\pi}{3} $$ radians avec l'axe réel positif.

**Diagramme :**
$$
\begin{tikzpicture}[scale=3]
    \draw[->] (-0.5,0) -- (1.5,0) node[right] {Oeil Réel};
    \draw[->] (0,-0.5) -- (0,1.5) node[above] {Imaginaire};
    \draw[thick, red, ->] (0,0) -- (1, {tan(60)}) node[above right] {$\arg(z) = \frac{\pi}{3}$};
    \draw[dashed] (1,0) arc (0:60:1);
    \node at (0.3,0.3) {$\frac{\pi}{3}$};
\end{tikzpicture}
$$

---

### b) $$ \arg(z) \equiv -\frac{\pi}{6} \, [2\pi] $$

**Interprétation :**
L'égalité $$ \arg(z) \equiv -\frac{\pi}{6} \, [2\pi] $$ signifie que l'argument de $$ z $$ est égal à $$ -\frac{\pi}{6} $$ modulo $$ 2\pi $$. Pour tout entier $$ k $$ :
$$
\arg(z) = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi
$$

**Représentation Géométrique :**
Cette condition décrit une demi-droite partant de l'origine faisant un angle de $$ -\frac{\pi}{6} $$ radians (soit $$ \frac{11\pi}{6} $$ radians) avec l'axe réel positif.

**Diagramme :**
$$
\begin{tikzpicture}[scale=3]
    \draw[->] (-0.5,0) -- (1.5,0) node[right] {Oeil Réel};
    \draw[->] (0,-0.5) -- (0,1.5) node[above] {Imaginaire};
    \draw[thick, blue, ->] (0,0) -- (1, {-tan(30)}) node[right below] {$\arg(z) = -\frac{\pi}{6}$};
    \draw[dashed] (1,0) arc (0:-30:1);
    \node at (0.3,-0.15) {$-\frac{\pi}{6}$};
\end{tikzpicture}
$$

---

### c) $$ \arg(iz) \equiv \frac{5\pi}{4} \, [\pi] $$

**Interprétation :**
On peut écrire $$ \arg(iz) = \arg(z) + \arg(i) $$.
Puisque $$ \arg(i) = \frac{\pi}{2} $$, l'égalité donnée devient :
$$
\arg(z) + \frac{\pi}{2} \equiv \frac{5\pi}{4} \, [\pi]
$$
Cela implique :
$$
\arg(z) = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{2} + k\pi = \frac{3\pi}{4} + k\pi \quad \text{pour tout entier } k
$$

**Représentation Géométrique :**
La condition $$ \arg(z) = \frac{3\pi}{4} + k\pi $$ décrit deux demi-droites opposées passant par l'origine :
- Une demi-droite faisant un angle de $$ \frac{3\pi}{4} $$ radians avec l'axe réel positif.
- Une demi-droite faisant un angle de $$ \frac{7\pi}{4} $$ radians (ou $$ -\frac{\pi}{4} $$).

**Diagramme :**
$$
\begin{tikzpicture}[scale=3]
    \draw[->] (-1.5,0) -- (1.5,0) node[right] {Oeil Réel};
    \draw[->] (0,-1.5) -- (0,1.5) node[above] {Imaginaire};
    \draw[thick, green, ->] (0,0) -- ({cos(135)}, {sin(135)}) node[above left] {$\frac{3\pi}{4}$};
    \draw[thick, green, ->] (0,0) -- ({cos(-45)}, {sin(-45)}) node[below right] {$\frac{7\pi}{4}$};
    \draw[dashed] (1,0) arc (0:135:1);
    \draw[dashed] (1,0) arc (0:-45:1);
    \node at (0.7,0.7) {$\frac{3\pi}{4}$};
    \node at (0.7,-0.7) {$-\frac{\pi}{4}$};
\end{tikzpicture}
$$

---

### d) $$ \arg\left(\frac{z}{1+i}\right) \equiv \frac{\pi}{4} \, [\pi] $$

**Interprétation :**
Soit $$ w = \frac{z}{1+i} $$. L'égalité $$ \arg(w) \equiv \frac{\pi}{4} \, [\pi] $$ signifie :
$$
\arg(w) = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \text{pour tout entier } k
$$
Comme $$ \arg\left(\frac{z}{1+i}\right) = \arg(z) - \arg(1+i) $$ et $$ \arg(1+i) = \frac{\pi}{4} $$, on obtient :
$$
\arg(z) - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + k\pi \quad \Rightarrow \quad \arg(z) = \frac{\pi}{2} + k\pi
$$

**Représentation Géométrique :**
La condition $$ \arg(z) = \frac{\pi}{2} + k\pi $$ décrit deux demi-droites opposées passant par l'origine :
- Une demi-droite verticale vers le haut ($$ \frac{\pi}{2} $$).
- Une demi-droite verticale vers le bas ($$ \frac{3\pi}{2} $$ ou $$ -\frac{\pi}{2} $$).

**Diagramme :**
$$
\begin{tikzpicture}[scale=3]
    \draw[->] (-1,0) -- (1,0) node[right] {Oeil Réel};
    \draw[->] (0,-1) -- (0,1) node[above] {Imaginaire};
    \draw[thick, purple, ->] (0,0) -- (0,1) node[above] {$\frac{\pi}{2}$};
    \draw[thick, purple, ->] (0,0) -- (0,-1) node[below] {$\frac{3\pi}{2}$};
    \node at (0.1,0.8) {$\frac{\pi}{2}$};
    \node at (0.1,-0.8) {$-\frac{\pi}{2}$};
\end{tikzpicture}
$$

---

**Résumé des Loci :**
- **a)** Une unique demi-droite faisant un angle de $$ \frac{\pi}{3} $$ avec l'axe réel.
- **b)** Une unique demi-droite faisant un angle de $$ -\frac{\pi}{6} $$ (ou $$ \frac{11\pi}{6} $$) avec l'axe réel.
- **c)** Deux demi-droites opposées faisant des angles de $$ \frac{3\pi}{4} $$ et $$ \frac{7\pi}{4} $$ avec l'axe réel.
- **d)** Deux demi-droites verticales, une vers le haut et une vers le bas.

Ces représentations géométriques permettent de visualiser les ensembles de points $$ M $$ correspondant aux conditions d'arguments données.
a) Points $$ M $$ formant un angle de $$ \frac{\pi}{3} $$ avec l'axe réel. b) Points $$ M $$ formant un angle de $$ -\frac{\pi}{6} $$ avec l'axe réel. c) Points $$ M $$ formant des angles de $$ \frac{3\pi}{4} $$ et $$ \frac{7\pi}{4} $$ avec l'axe réel. d) Points $$ M $$ formant des angles de $$ \frac{\pi}{2} $$ et $$ \frac{3\pi}{2} $$ avec l'axe réel.

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