Encuentra la inversa de la función: $$ f(x) = 3x^{2} + 5 $$

Question

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Para encontrar la inversa de la función $$ f(x) = 3x^{2} + 5 $$, seguiremos los siguientes pasos. **Es importante notar que, para que la función tenga una inversa, debemos restringir su dominio. Asumiremos que $$ x \geq 0 $$ para que la función sea invertible.**

1. **Intercambiar $$ x $$ e $$ y $$:**
   
   $$
   y = 3x^{2} + 5 \quad \Rightarrow \quad x = 3y^{2} + 5
   $$
   
   *(Nota: Hay un error aquí. Lo correcto es intercambiar las variables:)*

$$
   x = 3y^{2} + 5
   $$

2. **Despejar $$ y $$:**
   
   $$
   x - 5 = 3y^{2}
   $$
   
   $$
   y^{2} = \frac{x - 5}{3}
   $$
   
   $$
   y = \sqrt{\frac{x - 5}{3}}
   $$
   
   *(Dado que asumimos $$ x \geq 0 $$, tomamos la raíz positiva.)*

3. **Expresar la función inversa:**
   
   $$
   f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x - 5}{3}}
   $$

**Por lo tanto, la función inversa es:**

$$
f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x - 5}{3}}
$$

**Dominio de la función inversa:**

Para que la expresión bajo la raíz cuadrada sea no negativa:

$$
\frac{x - 5}{3} \geq 0 \quad \Rightarrow \quad x \geq 5
$$

Entonces, la inversa está definida para $$ x \geq 5 $$.
La función inversa de $$ f(x) = 3x^{2} + 5 $$ es $$ f^{-1}(x) = \sqrt{\frac{x - 5}{3}} $$ y está definida para $$ x \geq 5 $$.

Encuentra la inversa de la función: \( f(x) = 3x^{2} + 5 \)

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