Si $$ T(x, y, z)=(x-y+z, x+y-z, x+y+z) $$ y $$ S(x, y, z)=(x-y, y+z, x+z) $$ a. Escribe las dos transformaciones usando matrices b. Calcula las composiciones ToS y S®T usando matrices.

Question

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a. Para expresar las transformaciones como matrices, identificamos las coordenadas de salida en función de $$x$$, $$y$$ y $$z$$.

- Para $$T(x,y,z)=(x-y+z,\; x+y-z,\; x+y+z)$$, la matriz asociada $$A$$ se obtiene de:
  $$
  \begin{pmatrix}
  x-y+z\[6mm]
  x+y-z\[6mm]
  x+y+z
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
  1 & -1 & 1\[6mm]
  1 &  1 & -1\[6mm]
  1 &  1 & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
  x\[4mm]
  y\[4mm]
  z
  \end{pmatrix}.
  $$
  Así, la matriz de $$T$$ es
  $$
  A=\begin{pmatrix}
  1 & -1 & 1\[6mm]
  1 & 1 & -1\[6mm]
  1 & 1 & 1
  \end{pmatrix}.
  $$

- Para $$S(x,y,z)=(x-y,\; y+z,\; x+z)$$, el procedimiento es similar:
  $$
  \begin{pmatrix}
  x-y\[6mm]
  y+z\[6mm]
  x+z
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
  1 & -1 & 0\[6mm]
  0 &  1 & 1\[6mm]
  1 &  0 & 1
  \end{pmatrix}
  \begin{pmatrix}
  x\[4mm]
  y\[4mm]
  z
  \end{pmatrix}.
  $$
  Por lo tanto, la matriz de $$S$$ es
  $$
  B=\begin{pmatrix}
  1 & -1 & 0\[6mm]
  0 & 1 & 1\[6mm]
  1 & 0 & 1
  \end{pmatrix}.
  $$

b. Ahora calculamos las composiciones usando la multiplicación de matrices.

1. Composición $$T\circ S$$:

Esta composición se representa como $$A\cdot B$$. Realizamos el producto:
$$
A\cdot B =
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\[6mm]
1 & 1 & -1\[6mm]
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\[6mm]
0 & 1 & 1\[6mm]
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}.
$$

Cálculo elemento a elemento:

- Elementos de la primera fila:
  $$
  c_{11}=1\cdot1+(-1)\cdot0+1\cdot1=1+0+1=2,
  $$
  $$
  c_{12}=1\cdot(-1)+(-1)\cdot1+1\cdot0=-1-1+0=-2,
  $$
  $$
  c_{13}=1\cdot0+(-1)\cdot1+1\cdot1=0-1+1=0.
  $$

- Elementos de la segunda fila:
  $$
  c_{21}=1\cdot1+1\cdot0+(-1)\cdot1=1+0-1=0,
  $$
  $$
  c_{22}=1\cdot(-1)+1\cdot1+(-1)\cdot0=-1+1+0=0,
  $$
  $$
  c_{23}=1\cdot0+1\cdot1+(-1)\cdot1=0+1-1=0.
  $$

- Elementos de la tercera fila:
  $$
  c_{31}=1\cdot1+1\cdot0+1\cdot1=1+0+1=2,
  $$
  $$
  c_{32}=1\cdot(-1)+1\cdot1+1\cdot0=-1+1+0=0,
  $$
  $$
  c_{33}=1\cdot0+1\cdot1+1\cdot1=0+1+1=2.
  $$

Por lo tanto, la matriz de $$T\circ S$$ es:
$$
T\circ S =
\begin{pmatrix}
2 & -2 & 0\[6mm]
0 & 0 & 0\[6mm]
2 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$

2. Composición $$S\circ T$$:

Esta composición se representa como $$B\cdot A$$:
$$
B\cdot A =
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 0\[6mm]
0 & 1 & 1\[6mm]
1 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & -1 & 1\[6mm]
1 & 1 & -1\[6mm]
1 & 1 & 1
\end{pmatrix}.
$$

Realizamos el producto:

- Primera fila de $$B$$ (fila $$ (1,-1,0) $$):
  $$
  d_{11}=1\cdot1+(-1)\cdot1+0\cdot1=1-1+0=0,
  $$
  $$
  d_{12}=1\cdot(-1)+(-1)\cdot1+0\cdot1=-1-1+0=-2,
  $$
  $$
  d_{13}=1\cdot1+(-1)\cdot(-1)+0\cdot1=1+1+0=2.
  $$

- Segunda fila de $$B$$ (fila $$ (0,1,1) $$):
  $$
  d_{21}=0\cdot1+1\cdot1+1\cdot1=0+1+1=2,
  $$
  $$
  d_{22}=0\cdot(-1)+1\cdot1+1\cdot1=0+1+1=2,
  $$
  $$
  d_{23}=0\cdot1+1\cdot(-1)+1\cdot1=0-1+1=0.
  $$

- Tercera fila de $$B$$ (fila $$ (1,0,1) $$):
  $$
  d_{31}=1\cdot1+0\cdot1+1\cdot1=1+0+1=2,
  $$
  $$
  d_{32}=1\cdot(-1)+0\cdot1+1\cdot1=-1+0+1=0,
  $$
  $$
  d_{33}=1\cdot1+0\cdot(-1)+1\cdot1=1+0+1=2.
  $$

La matriz de $$S\circ T$$ es:
$$
S\circ T =
\begin{pmatrix}
0 & -2 & 2\[6mm]
2 & 2 & 0\[6mm]
2 & 0 & 2
\end{pmatrix}.
$$

Resumiendo:

- $$ A=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 1$$6mm] 1 & 1 & -1\[6mm] 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$

- $$ B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\[6mm] 0 & 1 & 1\[6mm] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

- $$ T\circ S = A\cdot B=\begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\[6mm] 0 & 0 & 0\[6mm] 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

- $$ S\circ T = B\cdot A=\begin{pmatrix} 0 & -2 & 2\[6mm] 2 & 2 & 0\[6mm] 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$
a. Las transformaciones $$ T $$ y $$ S $$ se pueden representar con las siguientes matrices: - Matriz de $$ T $$: \[ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1\ 1 & 1 & -1\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} $$ - Matriz de $$ S $$: $$ \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\ 0 & 1 & 1\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ b. Las composiciones son: - $$ T \circ S $$: $$ \begin{pmatrix} 2 & -2 & 0\ 0 & 0 & 0\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$ - $$ S \circ T $$: $$ \begin{pmatrix} 0 & -2 & 2\ 2 & 2 & 0\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} $$

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