51.- SI \( f(x)=\frac{1}{x^{2}-1} \) Y \( g(x)=x+2 \) ENTONCES \( (f \circ g)(x) \) ES IGUAL A \( \begin{array}{ll}\text { a) } \frac{1}{x^{2}+2} & \text { b) } \frac{1}{x^{2}+3} \\ \text { c) } \frac{1}{x^{2}+5} & \text { d) } \frac{1}{x^{2}+4 x+3}\end{array} \)

Para encontrar \( (f \circ g)(x) \), primero debemos sustituir \( g(x) \) en la función \( f(x) \). Así que, primero calculamos \( g(x) = x + 2 \). Luego, sustituimos esto en \( f \): \[ f(g(x)) = f(x + 2) = \frac{1}{(x + 2)^{2} - 1} \] Ahora expandimos \( (x + 2)^{2} - 1 \): \[ (x + 2)^{2} = x^{2} + 4x + 4 \quad \Rightarrow \quad (x + 2)^{2} - 1 = x^{2} + 4x + 3 \] Así que \( f(g(x)) \) se convierte en: \[ (f \circ g)(x) = \frac{1}{x^{2} + 4x + 3} \] Por lo tanto, la respuesta correcta es la opción d) \( \frac{1}{x^{2} + 4x + 3} \). Para recordar, siempre que realices la composición de funciones, asegúrate de sustituir correctamente y simplificar cualquier expresión que obtengas. ¡Es como un pequeño rompecabezas matemático!